Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點D為AB下方⊙O上一點，點C為弧ABD的中點，連接CD，CA．

（1）求證：∠ABD=2∠BDC；

（2）過點C作CH⊥AB于H，交AD于E，求證：EA=EC；

（3）在（2）的條件下，若OH=5，AD=24，求線段DE的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）連接AD，如圖1，設∠BDC=α，∠ADC=β，根據圓周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB為⊙O直徑，得到∠ADB=90°，根據余角的性質即可得到結論；

（2）根據已知條件得到∠ACE=∠ADC，等量代換得到∠ACE=∠CAE，于是得到結論；

（3）如圖2，連接OC，根據圓周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代換得到∠COB=∠ABD，根據相似三角形的性質得到OH=5，根據勾股定理得到AB==26，由相似三角形的性質即可得到結論．

（1）連接AD．如圖1，設∠BDC=α，∠ADC=β，

則∠CAB=∠BDC=α，

∵點C為弧ABD中點，∴=，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，

∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC；

（2）∵CH⊥AB，∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，

∵∠CAB=∠CDB，∴∠ACE=∠ADC，

∵∠CAE=∠ADC，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE；

（3）如圖2，連接OC，∴∠COB=2∠CAB，

∵∠ABD=2∠BDC，∠BDC=∠CAB，∴∠COB=∠ABD，

∵∠OHC=∠ADB=90°，∴△OCH∽△ABD，∴，

∵OH=5，∴BD=10，∴AB==26，∴AO=13，∴AH=18，

∵△AHE∽△ADB，∴，即=，∴AE=，∴DE=．