Question

【題目】已知，點P是Rt△ABC斜邊AB上一動點（不與A、B重合），分別過A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F、Q為斜邊AB的中點．

（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是 ，QE與QF的數量關系是 ；

（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；

（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF；（3）成立

【解析】

試題分析：（1）根據AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；

（2）延長EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可；

（3）延長EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可．

試題解析：（1）如圖1，

當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是AE∥BF，QE與QF的數量關系是AE=BF，

理由是：∵Q為AB的中點，

∴AQ=BQ，

∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，

∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，

在△AEQ和△BFQ中

∴△AEQ≌△BFQ，

∴QE=QF，

故答案為：AE∥BF，QE=QF；

（2）

QE=QF，

證明：延長EQ交BF于D，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ=∠BDQ，

在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ，

∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°，

∴QE=QF；，

（3）當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論成立，

證明：延長EQ交FB于D，如圖3，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ=∠BDQ，

在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ，

∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°，

∴QE=QF．