Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．給出以下結論：①DG＝DF；②四邊形EFDG是菱形；③EG2＝GF×AF；④當AG＝6，EG＝2時，BE的長為，其中正確的編號組合是（　　）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

先依據翻折的性質和平行線的性質證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據翻折的性質可證明DG=GE=DF=EF，連接DE，交AF于點O．由菱形的性質可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質可證明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的數量關系，過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結論可求得FG=4，然后再△ADF中依據勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質可求得GH的長，最后依據BE=AD-GH求解即可．

解：∵GE∥DF，

∴∠EGF＝∠DFG．

∵由翻折的性質可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，

∴∠DGF＝∠DFG．

∴GD＝DF．故①正確；

∴DG＝GE＝DF＝EF．

∴四邊形EFDG為菱形，故②正確；

如圖1所示：連接DE，交AF于點O．

∵四邊形EFDG為菱形，

∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．

∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴＝，即DF2＝FOAF．

∵FO＝GF，DF＝EG，

∴EG2＝GFAF．故③正確；

如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．

∵EG2＝GFAF，AG＝6，EG＝2，

∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．

解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）．

∵DF＝GE＝2，AF＝10，

∴AD＝＝4．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴＝，即=，

∴GH＝，

∴BE＝AD﹣GH＝4﹣＝．故④正確．

故選：D．