Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2+2xa+c經過A（﹣4，0），B（0，4）兩點，與x軸交于另一點C，直線y=x+5與x軸交于點D，與y軸交于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第二象限拋物線上的一個動點，連接EP，過點E作EP的垂線l，在l上截取線段EF，使EF=EP，且點F在第一象限，過點F作FM⊥x軸于點M，設點P的橫坐標為t，線段FM的長度為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，過點E作EH⊥ED交MF的延長線于點H，連接DH，點G為DH的中點，當直線PG經過AC的中點Q時，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）d=5+t；（3）F.

【解析】

試題分析：（1）直接把A、B坐標代入求出a、c得值即可；（2）分別過P、F向y軸作垂線，垂足分別為A′、B′，過P作PN⊥x軸，垂足為N，易證△PEA′≌△EFB′，可得出d=FM=OE﹣EB′，再代入可求得解析式；（3）先求得F、H的坐標，發現點P和點H的縱坐標相等，則PH與x軸平行，根據平行線截線段成比例定理可得G也是PQ的中點，由此表示出點G的坐標并列式，求出t的值并取舍，計算出點F的坐標．

試題解析：（1）由題意得，解得，∴拋物線解析式為；（2）分別過P、F向y軸作垂線，垂足分別為A′、B′，過P作PN⊥x軸，垂足為N，當x=0時，y=5，∴E（0，5），∴OE=5，∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°，∴∠EPA′=∠OEF，∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°，∴△PEA′≌△EFB′，∴PA′=EB′=﹣t，∴d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣（﹣t）=5+t；

（3）如圖，由直線DE的解析式為：y=x+5，∵EH⊥ED，∴直線EH的解析式為：y=﹣x+5，

∴FB′=A′E=5﹣（﹣t2﹣t+4）=t2+t+1，∴F（t2+t+1，5+t），∴點H的橫坐標為：t2+t+1，

y=﹣t2﹣t﹣1+5=﹣t2﹣t+4，∴H（t2+t+1，﹣t2﹣t+4），∵G是DH的中點，∴G（），即G（t2+t﹣2，﹣t2﹣t+2），∴PH∥x軸，∵DG=GH，∴PG=GQ，

∴，解得t=，∵P在第二象限，∴t＜0，∴t=，∴F（）．