Question

（2012•聊城一模）在一平直河岸l同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，A，B到l的距離分別是3km和2km，AB=akm（a＞1）．現(xiàn)計(jì)劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個(gè)村莊供水．
某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：圖1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d₁，且d₁=PB+BA（km）（其中BP⊥l于點(diǎn)P）；圖2是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d₂，且d₂=PA+PB（km）（其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于l對(duì)稱，A′B與l交于點(diǎn)P）．

觀察計(jì)算：（1）在方案一中，d₁=

a+2

km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算d₂的長(zhǎng)，作了如圖3所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，d₂=

a2+24

km（用含a的式子表示）．
探索歸納：（1）①當(dāng)a=4時(shí)，比較大小：d₁

＜

d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
②當(dāng)a=6時(shí)，比較大小：d₁

＞

d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）請(qǐng)你參考方法指導(dǎo)，就a（當(dāng)a＞1時(shí)）的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？
方法指導(dǎo)：當(dāng)不易直接比較兩個(gè)正數(shù)m與n的大小時(shí)，可以對(duì)它們的平方進(jìn)行比較：
∵m²-n²=（m+n）（m-n），m+n＞0，
∴（m²-n²）與（m-n）的符號(hào)相同．
當(dāng)m²-n²＞0時(shí)，m-n＞0，即m＞n；
當(dāng)m²-n²=0時(shí)，m-n=0，即m=n；
當(dāng)m²-n²＜0時(shí)，m-n＜0，即m＜n．

Answer 1

分析：觀察計(jì)算：（1）由題意可以得知管道長(zhǎng)度為d₁=PB+BA（km），根據(jù)BP⊥l于點(diǎn)P得出PB=2，故可以得出d₁的值為a+2．
（2）由條件根據(jù)勾股定理可以求出KB的值，由軸對(duì)稱可以求出′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值

a2+24

就是管道長(zhǎng)度．
探索歸納：（1）①把a(bǔ)=4代入d₁=a+2和d₂=

a2+24

就可以比較其大小；
②把a(bǔ)=6代入d₁=a+2和d₂=

a2+24

就可以比較其大小；
（2）分類進(jìn)行討論當(dāng)d₁＞d₂，d₁=d₂，d₁＜d₂時(shí)就可以分別求出a的范圍，從而確定選擇方案．

解答：解：（1）∵BP⊥l，
∴BP=2，
∵AB=a，
∴d₁=a+2．
（2）∵點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于l對(duì)稱，
∴AA′=6，
∵BK⊥AA′，
∴AK=1，在Rt△ABK中，由勾股定理，得
∴BK²=a²-1，
在Rt△KBA′由勾股定理，得
A′B²=25+a²-1=a2+24．
∴A′B=

a2+24

探索歸納
（1）①當(dāng)a=4時(shí)，d₁=6，d₂=2

10

，
∵6＜2

10

，
∴d₁＜d₂．
  ②當(dāng)a=6時(shí)，d₁=8，d₂=2

15

，
∵8＞2

15

，
∴d₁＞d₂．
（2）∵d₁²-d₂²=（a+2）²-（

a2+24

）²=4a-20，
∴①當(dāng)4a-20＞0，即a＞5時(shí)，d₁＞d₂；
∴選擇方案二鋪設(shè)管道較短．
②當(dāng)4a-20=0，a=5時(shí)，d₁=d₂；
∴選擇方案一、二鋪設(shè)管道一樣長(zhǎng)
③當(dāng)4a-20＜0，即a＜5時(shí)，d₁＜d₂．
∴選擇方案一鋪設(shè)管道較短．
綜上可知：當(dāng)a＞5時(shí)，選方案二；
當(dāng)a=5時(shí)，選方案一或方案二；
當(dāng)1＜a＜5 時(shí)，選方案一．
故答案為：a+2，

a2+24

，＜，＞．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，最短路線問題數(shù)學(xué)模式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，數(shù)的大小的比較方法的運(yùn)用．