Question

【題目】如圖，矩形的頂點分別在軸的正半軸上，點在反比例函數的第一象限內的圖像上，，動點在軸的上方，且滿足.

(1)若點在這個反比例函數的圖像上，求點的坐標;

(2)連接，求的最小值;

(3)若點是平面內一點，使得以為頂點的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）點P的坐標為(6,2)；（2）；（3）Q (4,5)，Q (4+,5)，Q (42,1)，Q (4+2,1)．

【解析】

(1)首先根據點B坐標，確定反比例函數的解析式，設點P的縱坐標為m(m>0)，根據，構建方程即可解決問題；

(2)過點(0,2)，作直線l⊥y軸,由(1)知，點P的縱坐標為2，推出點P在直線l上作點O關于直線l的對稱點O'，則OO'=4，連接AO'交直線l于點P，此時PO+PA的值最小；

(3)分兩種情形分別求解即可解決問題；

(1)∵四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=3，

∴點B的坐標為(4,3)，

∵點B在反比例函數的第一象限內的圖象上

∴k=12，

∴y=，

設點P的縱坐標為m(m>0)，

∵．

∴OAm=OAOC，

∴m=2，

當點，P在這個反比例函數圖象上時，則2= ，

∴x=6

∴點P的坐標為(6,2)．

(2)過點(0,2)，作直線l⊥y軸．

由(1)知，點P的縱坐標為2，

∴點P在直線l上

作點O關于直線l的對稱點O'，則OO'=4，

連接AO'交直線l于點P，此時PO+PA的值最小，

則PO+PA的最小值=PO'+PA=O'A=．

(3)

①如圖2中，當四邊形ABQP是菱形時，易知AB=P=PQ=BQ=3，P (4,2)，P (4,2)，

∴Q (4,5)，Q (4+,5)．

②如圖3中，當四邊形ABPQ是菱形時，P (42,2)，P(4+2,2)，

∴Q (42,1)，Q (4+2,1)．

綜上所述，點Q的坐標為Q (4,5)，Q (4+,5)，Q (42,1)，Q (4+2,1)．