Question

【題目】已知拋物線y=mx2-(m+5)x+5.

(1)求證:它的圖象與x軸必有交點,且過x軸上一定點;

(2)這條拋物線與x軸交于兩點A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,過(1) 中定點的直線L;y=x+k交y軸于點D,且AB=4,圓心在直線L上的⊙M為A、B兩點,求拋物線和直線的關系式,弦AB與弧圍成的弓形面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】本題主要考查了二次函數與一元二次方程的聯系、根的判別式、函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、函數解析式的確定、扇形面積的計算方法等

（1）若拋物線于x軸有交點，那么當y=0時，所得方程的根的判別式恒大于等于0，可據此進行證明；將拋物線解析式的右邊，用十字相乘法進行因式分解，可得：y=（mx-5）（x-1），由此可看出拋物線一定經過點（1，0）．

（2）由于拋物線交x軸于A、B兩點，且A在B左側，且A、B都在原點的右側，因此A（1，0），B（5，0），根據A點坐標，可確定直線的解析式，根據A、B的坐標，可確定拋物線的解析式；

若⊙M同時經過A、B兩點，根據拋物線和圓的對稱性知：點M必為拋物線對稱軸與直線的交點，由此可求得點M的坐標為（3，2），而AB=4，因此△ABM是個等腰直角三角形，即可得到的圓心角，那么扇形MAB的面積減去等腰直角三角形MAB的面積即為所求弓形的面積．

(1)證明:∵y=mx2-(m+5)x+5,∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m2+10m+25-20m="(m-" 5)2.

不論m取任何實數,(m-5)2≥0,即△≥0,故拋物線與x軸必有交點.

又∵x軸上點的縱坐標均為零,∴令y=0,代入y=mx2-(m+5)x+5,得

mx2-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,

∴x=或x=1.故拋物線必過x軸上定點(1,0).

(2)解:如答圖所示,

∵L:y=x+k,把(1,0)代入上式,

得0=1+k,∴k=-1,∴y="x-1."

又∵拋物線與x軸交于兩點A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,AB=4,

∵x1x2>0,∴x1="1," x2=5,∴A(1,0),B(5,0),

把B(5,0)代入y=mx2-(m+5)x+5,得0=25m-(m+5)×5+5.

∴m=1,∴y=x2-6x+5.

∵M點既在直線L:y=x-1上,又在線段AB的垂直平分線上,

∴M點的橫坐標x1+=1+.

把x=3代入y=x-1,得y=2.

∴圓心M(3,2),∴半徑r=MA=MB=,

∴MA2=MB2=8.

又AB2=42= 16,∴MA2+MB2=AB2,

∴△ABM為直角三角形,且∠AMB=90°,

∴S弓形ACB=S扇形AMB- S△ABM=.