Question

在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸相交于A，B兩點，直線AB的函數表達式為y=-

3

4

x-6，圓M經過原點O，A，B三點．
（1）求出A，B的坐標；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在⊙M上且拋物線經過點B，求此拋物線的函數解析式；
（3）如圖，設（2）中求得的開口向下的拋物線交x軸于D、E兩點，拋物線上是否存在點P，使得S△PDE=

1

10

S△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）令y=0，得0=-

3

4

x-6，
x=-8，
令x=0，y=-6，
∴A（-8，0）B（0，-6）；

（2）∵CM⊥OA，
∴CM平分OA，
∵M為AB中點，
∴NM為△AOB中位線，
NM=

1

2

OB=3，
∴AM=5，
當拋物線開口向下時，頂點為C（-4，2）的拋物線解析式為：y=-

1

2

(x+4)2+2，
當拋物線開口向上時，頂點為C（-4，-8）的拋物線解析式為：y=

1

8

(x+4)2-8；

（3）∵CM=5，AD=4，DO=4，
∴S_△ABC=20，
∴S△PDE=

1

10

×20=2，
令y=0，得0=-

1

2

(x+4)2+2，
D（-6，0）E（-2，0），DE=4，

1

2

×h×4=2，
h=1，
當y=1時，
1=-

1

2

（x+4）²+2，
解得：x₁=-4+

2

，x₂=-4-

2

．
∴P₁（-4+

2

，1），P₂（-4-

2

，1）；
當y=-1時，
-1=-

1

2

(x+4)2+2，
解得：x=-4±

6

，
∴P₃（-4+

6

，-1），P₄（-4-

6

，-1）．
故拋物線上存在點P，使得S△PDE=

1

10

S△ABC，此時，點P的坐標為：P₁（-4+

2

，1），P₂（-4-

2

，1），P₃（-4+

6

，-1），P₄（-4-

6

，-1）．