Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y=﹣x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)D是第二象限拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD、CD，當(dāng)S△ACD=S四邊形ACBD時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，點(diǎn)P是第三象限拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接QE，延長(zhǎng)QE與拋物線(xiàn)在A、D之間的部分交于一點(diǎn)F，當(dāng)∠DEF+∠BPC=∠DBE時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3（2）（﹣4，5）（3）3+

【解析】試題分析：(1)、首先求出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將其代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(2)、首先求出AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)面積之間的關(guān)系得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得出直線(xiàn)CE的函數(shù)解析式，將一次函數(shù)和二次函數(shù)聯(lián)立成方程組，從而得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)、過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸，垂足為N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC和直線(xiàn)DE的函數(shù)解析式，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式得出BC和CE的長(zhǎng)度，證明出△PCB和△QEB全等，將y=3代入二次函數(shù)解析式，從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后求出EF的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）解：∵令x=0得：y=﹣3， ∴C（0，﹣3）．

令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3， ∴A（﹣3，0）．

將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式的： ，解得： ．

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+2x﹣3

（2）解：如圖1所示： 令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1． ∴AB=4．

∵S△ACD= S四邊形ACBD ， ∴S△ADC：S△DCB=3：5． ∴AE：EB=3：5． ∴AE=4× = ．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣ ，0）．

設(shè)EC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得： ，

解得：k=﹣2，b=﹣3． ∴直線(xiàn)CE的解析式為y=﹣2x﹣3．

將y=﹣2x﹣3與y=x2+2x﹣3聯(lián)立，解得：x=﹣4或x=0（舍去），

將x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，5）．

（3）解：如圖2所示：過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸，垂足為N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M．

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，

解得：k=3，b=﹣3， ∴直線(xiàn)BC的解析式為y=3x﹣3．

設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為y=﹣ x+n，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：﹣ ×（﹣4）+n=5，

解得：n=5﹣ = ． ∴直線(xiàn)DE的解析式為y=﹣ x+ ，

將y=3x﹣3與y=﹣ x+ 聯(lián)立解得：x=2，y=3． ∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3）．

依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：BC=CE= ．

∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)， ∴PB=BQ．

在△PCB和△QEB中 ， ∴△PCB≌△QEB．

∴∠BPC=∠Q． 又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG

∴∠DBE=∠DGB． 又∵∠DBE+∠BDE=90°， ∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．

∵D（﹣4，5），B（1，0）， ∴DM=NB． ∴∠DBN=45°． ∴∠PBM=45°．

∴PM=MB 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2+2a﹣3），則BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3．

∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）． ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，3）．

∴PC∥x軸． ∵∠Q=∠BPC， ∴EQ∥PC． ∴點(diǎn)E與點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同．

將y=3代入拋物線(xiàn)的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+（舍去）．

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1 ，3）． ∴EF=2﹣（﹣1﹣）=3+．