Question

【題目】如圖，⊙O半徑為4cm，其內接正六邊形ABCDEF，點P，Q同時分別從A，D兩點出發，以1cm/s速度沿AF，DC向中點F，G運動．連接PB，QE，設運動時間為t（s）．
（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形；
（2）填空： ①當t=s時，四邊形PBQE為菱形；
②當t=s時，四邊形PBQE為矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵正六邊形ABCDEF內接于⊙O，

∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F，

∵點P，Q同時分別從A，D兩點出發，以1cm/s速度，運動時間為t（s），

∴AP=DQ=t，則PF=QC=4﹣t，

在△ABP和△DEQ中

∴△ABP≌△DEQ（SAS）

∴BP=EQ，

同理可證，PE=QB，

∴四邊形PEQB是平行四邊形．

（2）2；0或4
【解析】（2）解：①當四邊形PBQE為菱形時，PB=PE=EQ=QB， ∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB，
∴AP=PF=DQ=QC，
即t=4﹣t，得t=2，
故答案為：2；②當t=0時，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此時四邊形PBQE為矩形；
當t=4時，∠ABP=∠APB=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此時四邊形PBQE為矩形．
故答案為：0或4．
（1）根據正六邊形ABCDEF內接于⊙O，可以得到正六邊形的各邊相等、各個內角相等，由點P，Q同時分別從A，D兩點出發，以1cm/s速度，運動時間為t，可以得到BP與QE，PE與BQ的關系，從而可以證得結論；（2）①根據菱形的性質可以得到菱形的四條邊都相等，從而可以得到所用的時間；②根據矩形的性質，可以分別得到t為多少時，四邊形PBQE為矩形．