Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝16，AD＝6.E是BC的中點，點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發，沿CB向點B運動．點P停止運動時，點Q也隨之停止運動，設運動時間為t秒．

(1)設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；

(2)當t＝________時，△BPQ的面積與四邊形PQCD的面積相等；

(3)當t為何值時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

【答案】(1) S=－4t＋32(0≤t≤6)； (2)；(3) 2或．

【解析】(1)過點A作AF⊥BC于點F，則∠AFB＝90°．由含30°角的直角三角形的性質及勾股定理得到AF的長．再由三角形的面積公式即可得到結論．

(2)由S＝S四邊形PQCD ＝S四邊形ABCD－S△BPQ－S△ABP．表示出各部分的面積，代入公式解方程即可；

(3)分兩種情況討論：四邊形PEQD或四邊形PQED為平行四邊形，得到PD＝EQ．

由PD＝6－t，EQ＝8－2t或2t－8，代入解方程即可．

(1)過點A作AF⊥BC于點F，則∠AFB＝90°．

∵∠ABC＝60°，∴∠BAF＝30°．

∵AB＝8，∴BF＝AB＝4，∴AF＝＝．

∵經過t秒后BQ＝16－2t，∴S＝·BQ·AF＝×(16－2t)×＝－t＋ (0≤t≤6)．

(2)由圖可知S四邊形PQCD＝S四邊形ABCD－S△BPQ－S△ABP．

∵AP＝t，∴S△ABP＝AP·AF＝．

又∵S四邊形ABCD＝AF(AD＋BC)＝××(6＋16)＝，∴S四邊形PQCD＝－(－t＋)－＝．

∵S＝S四邊形PQCD，∴＝－t＋，解得：t＝．

(3)由題意可知四邊形PEQD或四邊形PQED為平行四邊形，∴PD＝EQ．

∵PD＝6－t，EQ＝8－2t或2t－8，∴6－t＝8－2t或6－t＝2t－8，解得：t＝2或t＝．

故當t＝2或時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形．