Question

【題目】如圖，⊙是四邊形的外接圓，是四邊形的對角線， BD經過圓心O，點在BD的延長線上，BA與CD的延長線交于點F，DF平分

(1)求證:;

(2)若,求的度數;

(3)若，⊙半徑為5，求的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）30°；（3）6

【解析】

（1）根據角平分線的定義得到∠EDF=∠ADF，根據圓內接四邊形的性質和圓周角定理結論得到結論；
（2）根據圓周角定理得到AD⊥BF，推出△ACB是等邊三角形，得到∠ADB=∠ACB=60°，根據等腰三角形的性質得到結論；
（3）設CD=k，BC=2k，根據勾股定理得到BD= ，求得=2，BC=AC=4，根據相似三角形的性質即可得到結論

（1）證明：∵DF平分∠ADE，
∴∠EDF=∠ADF，
∵∠EDF=∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF=∠BDC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC；
（2）解：∵BD是⊙O的直徑，
∴AD⊥BF，
∵AF=AB，
∴DF=DB，
∴∠FDA=∠BDA，
∴∠ADB=∠CAB=∠ACB，
∴△ACB是等邊三角形，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∴∠ABD=90°-60°=30°，
∴∠F=∠ABD=30°；
（3）解：∵，
∴，
設CD=k，BC=2k，
∴BD= ，
∴k=2，
∴CD=2，BC=AC=4，
∵∠ADF=∠BAC，
∴∠FAC=∠ADC，
∵∠ACF=∠DCA，
∴△ACF∽△DCA，
∴，
∴CF=8，
∴DF=CF-CD=6.