Question

【題目】己知長方形，為坐標原點，點坐標為，點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上，是線段上的動點，設，已知點在第一象限且是直線上一點，若是等腰直角三角形．

（）求點的坐標并寫出解題過程．

（）直角向下平移個單位后，在該直線上是否存在點，使是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（）；（）存在點，使為等腰直角三角形，坐標為，，．

【解析】試題分析：

（1）由點D和點A都在直線y=2x+6上可知，若△APD是等腰直角三角形，則只能是點A為直角頂點，如圖，過點D作DE⊥y軸于點E，則易證≌，由此可得，，從而可得點D的坐標為（6-m，14），將D的坐標代入y=2x+6中，解得m的值，即可得到點D的坐標；

（2）將直線y=2x+6向下平移12個單位所得新直線的解析式為：y=2x-6，由圖可知，點A、P在直線y=2x-6兩側，故當△APD為等腰直角三角形時，存在∠ADP=90°，∠APD=90°兩種可能情況，其中當∠ADP=90°時，又存在點D在點A的上方和下方兩種情況，如圖2、圖3和圖4，然后結合已知條件進行推理計算即可.

試題解析：

（）∵點A、D都在直線y-2x+6上，

∴當△APD是等腰直角三角形時，只能是點A為直角頂點，

如圖1：過作軸于，軸于，

∵，

∴≌，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

代入中得：-2m+6=14，解得：m=2，

∴；

（）存在點，使為等腰直角三角形，

直線向下平移個單位后變成，

當時，

①、如圖2所示，過作交、于、，

∵，，

∴≌，

∴，，

設，

∴，，

∴，

，

∴

．

∴，

代入中得，

，

∴．

②如圖3所示：

過作平行線交延長線于，

∴≌，

∴，，

∴，

代入中得，

，

∴．

③當時，如圖4，過作，交其垂線于，

∴≌，

∴，，

∴，

代入中，

，

∴，

綜上所述，點D的坐標為，，．