Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為邊AB上一點，沿DE將折疊得到，延長EF交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH.

（1）求證：GF=GC；

（2）探求BH與AE數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析

【解析】

（1）根據對稱得△ADE≌△FDE，再由HL證明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得結論；

（2）作如圖輔助線，構建全等三角形，證明△ADE≌△PEH，得AD=PE，AE=PH，再說明△BPH是等腰直角三角形，即可得結論．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠A=∠C=90°，
∵沿DE將折疊得到，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，
∴∠DFG=90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，

，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴GF=GC；

（2），

理由如下：過點H作HP⊥AB，垂足為P，

由（1）知，∠ADE=∠FDE，∠FDG=∠CDG，

∵∠ADC=90°，

∴∠EDG=45°，

∵EH⊥DE，

∴是等腰直角三角形，

∴DE=EH，

∵∠ADE+∠AED=∠AED+∠PEH=90°，

∴∠ADE=∠PEH，

在△ADE和△PEH中，

，

∴△ADE≌△PEH，

∴AD=PE，AE=PH，

∴AD=AB=EP，

∴AE=BP=PH，

∴△BPH為等腰直角三角形，

∴．