Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是的中點，過點D作⊙O的切線，與AB、AC的延長線分別交于點E、F，連接AD．

(1)求證：AF⊥EF．

(2)直接回答：

①已知AB＝2，當BE為何值時，AC＝CF？

②連接BD、CD、OC，當∠E等于多少度時，四邊形OBDC是菱形？

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①當BE＝2時，AC＝CF；②當∠E＝30°時，四邊形OBDC是菱形．

【解析】

(1)連接OD，由點D是弧BC的中點，過點D作⊙O的切線，可得OD⊥EF，AF∥OD，進而得出AF⊥EF；

(2)①當BE＝2時，連接BC，證明△ACB∽△AFE，所以，即AC＝CF；

②當∠E＝30°時，證明△ODB，△AOC，△COD為等邊三角形，所以OB＝BD＝OD＝CD＝OC，即四邊形OBDC是菱形．

解：(1)如圖1，連接OD，

∵點D是弧BC的中點，過點D作⊙O的切線，

∴OD⊥EF，∠CAD＝∠DAB，

∵OD＝OA，

∴∠DAB＝∠ADO，

∴∠CAD＝∠ADO，

∴AF∥OD，

∴AF⊥EF．

(2)①當BE＝2時，AC＝CF．

如圖2，連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AF⊥EF，

∴∠ACB＝∠F＝90°，

∴BC∥EF，

∴△ACB∽△AFE，

∴，

∴AC＝CF．

②當∠E＝30°時，四邊形OBDC是菱形．

如圖3，∵過點D作⊙O的切線，

∴∠ODE＝∠F＝90°，

∴∠DOE＝∠CAO＝60°，

∵OD＝OB＝OC＝OA，

∴△ODB，△AOC為等邊三角形，

∴∠COA＝∠DOB＝60°，

∴∠COD＝60°，

∴△COD為等邊三角形，

∴OB＝BD＝OD＝CD＝OC，

∴四邊形OBDC是菱形．