Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，點H、G分別是邊CD、BC上的動點．連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF則EF的最大值與最小值的差為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再證明∠ACD=90°，求出AC=2、AN=；然后由三角形中位線定理，可得EF=AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．

解：如圖：取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD= 120°

∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2

∴AM=DM=DC=2

∴△CDM是等邊三角形

∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC

∴∠MAC=∠MCA=30°

∴∠ACD=90°

∴AC=2

在Rt△ACN中，AC=2,∠ACN=∠DAC=30°

∴AN=AC=

∵AE=EH，GF=FH

∴EF=AG

∴AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長

∵AG的最大值為2，最小值為

∴EF的最大值為，最小值為

∴EF的最大值與最小值的差為-=．

故答案為．