Question

已知二次函數y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象如圖所示．
（1）這條拋物線與x軸交于兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），與y軸交于點C，且AB=4，⊙M過A、B、C三點，求扇形MAC的面積；
（2）在（1）的條件下，拋物線上是否存在點P，使△PBD（PD垂直于x軸，垂足為D）被直線BC分成面積比為1：2的兩部分？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵y=mx²+（m-3）x-3=（mx-3）（x+1），
∴x₁=-1，x₂=

3

m

，
∴AB=

3

m

-（-1）=4，
即m=1；
∴y=x²-2x-3，
得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，
∵AC=

12+32

=

10

，
∵AM=CM，
∴AM=

AC

2

=

5

，
∴R=

5

，S=

5

4

π．

（2）設PD與BC的交點為E，可求直線BC解析式為y=x-3，
設P（x，x²-2x-3）；當S_△BED：S_△BEP=1：2時，PD=3DE，
得-（x²-2x-3）=-3（x-3），解得x=2或3，
∴

x=2 y=-3

或

x=3 y=0

（舍去），
∴P（2，-3）；
當S_△PBE：S_△BED=1：2時，同理可得P（

1

2

，-

15

4

），
故存在P（2，-3）或P（

1

2

，-

15

4

）．