Question

如圖，已知：如圖，在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB、AC相交于D點，雙曲線y=（x＞0）經過D點，交BC的延長線于E點，且OB•AC=160，有下列四個結論：

①雙曲線的解析式為y=（x＞0）；②E點的坐標是（5，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=12．其中正確的結論有（　　）

A．1個  B．2個   C．3個  D．4個

Answer 1

B【考點】反比例函數綜合題．

【分析】過點C作CF⊥x軸于點F，由OB•AC=160可求出菱形的面積，由A點的坐標為（10，0）可求出CF的長，由勾股定理可求出OF的長，故可得出C點坐標，對角線OB、AC相交于D點可求出D點坐標，用待定系數法可求出雙曲線y=（x＞0）的解析式，由反比例函數的解析式與直線BC的解析式聯立即可求出E點坐標；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根據A、C兩點的坐標可求出AC的長，由OB•AC=160即可求出OB的長．

【解答】解：過點C作CF⊥x軸于點F，

∵OB•AC=160，A點的坐標為（10，0），

∴OA•CF=OB•AC=×160=80，菱形OABC的邊長為10，

∴CF===8，

在Rt△OCF中，

∵OC=10，CF=8，

∴OF===6，

∴C（6，8），

∵點D時線段AC的中點，

∴D點坐標為（，），即（8，4），

∵雙曲線y=（x＞0）經過D點，

∴4=，即k=32，

∴雙曲線的解析式為：y=（x＞0），故①錯誤；

∵CF=8，

∴直線CB的解析式為y=8，

∴，解得x=4，y=8，

∴E點坐標為（4，8），故②錯誤；

∵CF=8，OC=10，

∴sin∠COA===，故③正確；

∵A（10，0），C（6，8），

∴AC==4，

∵OB•AC=160，

∴OB===8，

∴AC+OB=4+8=12，故④正確．

故選：B．

【點評】本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到菱形的性質及反比例函數的性質、銳角三角函數的定義等相關知識，難度適中．