Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=9，tan∠CDA=，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】分析: （1）連OD，OE，根據圓周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；

（2）根據切線的性質得到ED=EB，OE⊥BD，則∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB==，易證Rt△CDO∽Rt△CBE，得到===，求得CD，然后在Rt△CBE中，運用勾股定理可計算出BE的長.

詳解:

（1）證明：連OD，OE，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，

又∵∠CDA=∠CBD，

而∠CBD=∠1，

∴∠1=∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵EB為⊙O的切線，ED是切線，

∴ED=EB，∵OB=OD，

∴OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，

∴∠ABD=∠OEB，

∴∠CDA=∠OEB．

而tan∠CDA=，

∴tan∠OEB==，

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴===，

∴CD=×9=6，

在Rt△CBE中，設BE=x，

∴（x+6）2=x2+92，

解得x=．

即BE的長為．

點睛: 本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質，熟練應用切線判定是解題的關鍵.