Question

在 1，2，3，4，…100這100個數中取出兩個數，使這兩個數的和能被4整除，最多有

1225

種不同的取法．

Answer 1

分析：將這100個數按照被4除的余數為0、1、2、3，可以分成四組，這四組分別為余數為0的組：4、8、12、…、100，余數為1的組：1、5、9、13、…、97，余數為2的組：2、6、10、14、…、98，余數為3的組：3、7、11、15、…、99，每一組都是25個數．任取兩個數，其和可以被4整除，則只要考慮余數即可，可以是：1、第一組中任意取2個，有C（25，2）種； 2、第二組和第三組中各取一個，有25×25種； 3、第三組中任意取兩個，有C（25，2）種．再將上面的結果相加，即可得出答案．

解答：解：將這100個數按照被4除的余數為0、1、2、3，可以分成四組，
這四組分別為余數為0的組：4、8、12、…、100，
余數為1的組：1、5、9、13、…、97，
余數為2的組：2、6、10、14、…、98，
余數為3的組：3、7、11、15、…、99，
每一組都是25個數，
任取兩個數，其和可以被4整除，則只要考慮余數即可，
可以是：1、第一組中任意取2個，有C（25，2）種，
即，

25×24

2×1

=300（種），
2、第二組和第三組中各取一個，有25×25種，
即，25×25=625（種），
3、第三組中任意取兩個，有C（25，2）種，
即，

25×24

2×1

=300（種），
 最多有：300+625+300=1225（種），
故答案為：1225種．

點評：解答此題的關鍵是，根據題意，將數進行分組，再利用組合公式，解答即可．