Question

在正方體的8個頂點處分別標上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每條棱兩端所標的兩個數之和寫在這條棱的中點，問各棱中點所寫的數是否可能恰有五種不同數值？各棱中點所寫的數是否可能恰有四種不同數值？如果可能，對照如圖在表中填上正確的數字；如果不可能，說明理由．

不同數值	A	B	C	D	E	F	G	H
6，8，9，10，12	1	5	3	7	8	4	6	2

Answer 1

分析：各棱中點處所寫的數恰有五種不同數值是可能的，如在A、B、…、H依次填1，5、3、7、8、4、6、2，則中點處恰有五個不同數值6、8、9、10、12．不可能少于五種不同數值，理由如下：
以1所在頂點為端點的棱有三條，不妨設這三條棱的另一端點所填寫的數是a、b、c，滿足a＜b＜c，則這三條棱的中點處的數為1+a，1+b和1+c，滿足1+a＜1+b＜1+c．
以8所在頂點為端點的棱也有三條，不妨設這三條棱另一端點所填寫的數為x、y、2，滿足x＜y＜z，則這三條棱的中點處的數為8+x，8+y，8+z，滿足8+x＜8+y＜8+z．
又 c≤8，1+c≤9；x≥1，8+x≥9，所以 1+a＜1+b＜1+c≤8+x＜8+y＜8+z，從而這六條棱中點的六個數不可能少于五種不同的值，因此在12條棱中的點處所寫的數不可能有少于五種不同的數值．

解答：解：因為以1所在頂點為端點的棱有三條，不妨設這三條棱的另一端點所填寫的數是a、b、c，滿足a＜b＜c，
則這三條棱的中點處的數為1+a，1+b和1+c，滿足1+a＜1+b＜1+c．
以8所在頂點為端點的棱也有三條，不妨設這三條棱另一端點所填寫的數為x、y、2，滿足x＜y＜z，
則這三條棱的中點處的數為8+x，8+y，8+z，滿足8+x＜8+y＜8+z．
又 c≤8，1+c≤9；x≥1，8+x≥9，
所以，1+a＜1+b＜1+c≤8+x＜8+y＜8+z
從而這六條棱中點的六個數不可能少于五種不同的值，因此在12條棱中的點處所寫的數不可能有少于五種不同的數值．

點評：解答本題的關鍵是設出以1和以8為所在頂點為端點的棱，進而依次得出棱的中點數，進而解決問題．