Question

在下面每個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)時(shí)，使得下列等式成立，并且要求每個(gè)等式的三個(gè)分母互質(zhì)：
（1）

1

□□

+

1

18

=

1

□□

（2）

1

□□

+

1

21

=

1

□□

．

Answer 1

考點(diǎn)：橫式數(shù)字謎

專題：填運(yùn)算符號(hào)、字母等的豎式與橫式問題

分析：（1）設(shè)

1

b

+

1

18

=

1

a

，10≤a＜18，可得

b-a

ab

=

1

18

，所以ab=18（b-a），然后根據(jù)a的取值，判斷出b的取值，再根據(jù)每個(gè)等式的三個(gè)分母互質(zhì)判斷即可；
（2）設(shè)

1

n

+

1

21

=

1

m

，10≤m＜20，可得

n-m

mn

=

1

21

，所以mn=21（n-m），然后根據(jù)m的取值，判斷出n的取值，再根據(jù)每個(gè)等式的三個(gè)分母互質(zhì)判斷即可．

解答： 解：（1）設(shè)

1

b

+

1

18

=

1

a

，10≤a＜18，
可得

b-a

ab

=

1

18

，
所以ab=18（b-a），
①當(dāng)a=10、11、13時(shí)，b沒有整數(shù)解；

②當(dāng)a=12時(shí)，可得12b=18（b-12），
解得b=36，
因?yàn)?2、18、36的最大公約數(shù)是6，
所以不符合題意；

③當(dāng)a=14時(shí)，可得14b=18（b-14），
解得b=63，
因?yàn)?4、18、63的最大公約數(shù)是1，
所以符合題意，
因此

1

63

+

1

18

=

1

14

；

④當(dāng)a=15時(shí)，可得15b=18（b-15），
解得b=90，
因?yàn)?5、18、90的最大公約數(shù)是3，
所以不符合題意；

⑤當(dāng)a=16時(shí)，可得16b=18（b-16），
解得b=144，b是三位數(shù)，
所以不符合題意；

⑥當(dāng)a=17時(shí)，可得17b=18（b-17），
解得b=306，b是三位數(shù)，
所以不符合題意．
綜上，可得

1

63

+

1

18

=

1

14

．

（2）設(shè)

1

n

+

1

21

=

1

m

，10≤m＜20，
可得

n-m

mn

=

1

21

，
所以mn=21（n-m），
①當(dāng)m=10、11、13、15、16、17、19時(shí)，n沒有整數(shù)解；

②當(dāng)m=12時(shí)，可得12n=21（n-12），
解得n=28，
因?yàn)?2、21、28的最大公約數(shù)是1，
所以符合題意，
因此

1

28

+

1

21

=

1

12

；

③當(dāng)m=14時(shí)，可得14n=21（n-14），
解得n=42，
因?yàn)?4、21、42的最大公約數(shù)是7，
所以不符合題意；

④當(dāng)m=18時(shí)，可得18n=21（n-18），
解得n=126，n是三位數(shù)，
所以不符合題意；

⑤當(dāng)m=20時(shí)，可得20n=21（n-20），
解得n=420，n是三位數(shù)，
所以不符合題意．
綜上，可得

1

28

+

1

21

=

1

12

．

故答案為：63、14、28、12．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了橫式數(shù)字謎問題的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是判斷出每個(gè)等式的未知的兩個(gè)分母的關(guān)系，并根據(jù)每個(gè)等式的三個(gè)分母互質(zhì)，求出每個(gè)等式的未知的兩個(gè)分母的值是多少即可．