Question

已知60，154，200被某自然數除所得的余數分別是a-1，a²，a³-1，求該自然數的值．

Answer 1

考點：帶余除法

專題：余數問題

分析：根據題意可得，自然數61，154，201被某自然數除所得的余數分別是a，a²，a³，依此得到該自然數的值可能為：3，29，41，3×29，3×41，29×41，3×29×41，進一步檢驗即可求解．

解答： 解：60=nr+a-1，
61=nr+a，
a²=（61-nr）²=3721+n²r²-122nr
154=ns+a²，
a²=154-ns
200=nt+a³-1，
201=nt+a³，
則3721+n²r²-122nr=154-ns，
3567=n（122r-s-nr²）
3567=3×29×41，
n可能為：3，29，41，3×29，3×41，29×41，3×29×41，
經檢驗，只有當n=29，a=3時，滿足題意．
60=29×2+3-1
154=29×5+3×3
200=29×6+3×3×3-1
答：該自然數的值是29．

點評：考查了帶余除法，本題關鍵是理解由60，154，200被某自然數除所得的余數分別是a-1，a²，a³-1得到自然數61，154，201被某自然數除所得的余數分別是a，a²，a³．