Question

小強、小蛙等六個同學照相，站成三排，第一排1人，第二排2人，第三排3人．小蛙和小強鬧了別扭，不愿意在同一排，則有多少種站法？

Answer 1

考點：排列組合

專題：傳統應用題專題

分析：先確定小強的位置，分小強在第一排、第二排和第三排進行討論，然后相加．

解答： 解：（1）當小強在第一排時，第二排和第三排還有5個位置，這5個位置小蛙在哪都可以，所以一共

P

5 5

=5×4×3×2×1=120種方法

（2）當小強在第二排，小蛙可以是第一排、第三排的任意一個位置，有1+3=4種站法，剩下的4個位置，其他4人進行全排列，一共有：
4×

P

4 4

=4×（4×3×2×1）=96種站法；
又由于第二排有2個不同的位置，所以一共有96×2=192種站法；

（3）①當小強在第三排左邊第一個位置時，小蛙可以是第一排和第二排的任意一個位置，還可以是第三排最右邊的位置，
1+2+1=4種位置；
其他4人進行全排列，一共有：
4×

P

4 4

=4×（4×3×2×1）=96種站法；

②小強在第三排右邊的第一個位置時，小蛙可以是第一排和第二排的任意一個位置，還可以是第三排最左邊的位置，
1+2+1=4種位置；
其他4人進行全排列，一共有：
4×

P

4 4

=4×（4×3×2×1）=96種站法；

③小強在第三排的中間位置時，小蛙可以是第一排和第二排的任意一個位置，有1+2=3種方法；
其他4人進行全排列，一共有：
3×

P

4 4

=3×（4×3×2×1）=72種站法；
96+96+72=264（種）；

綜上所述，站法一共有：
120+192+264=576（種）
答：一共有576種站法．

點評：解決本題注意分類計數和分步計數方法的運用，先進行分類，然后找出每一類的選擇方法，然后相加．