Question

【題目】從1，2，3，…，n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，則n的最大值為______．

Answer 1

【答案】108

【解析】

被13除的同余序列當(dāng)中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到兩個(gè)相鄰的，這兩個(gè)數(shù)的差為13；如果沒有兩個(gè)相鄰的數(shù)，則沒有兩個(gè)數(shù)的差為13，不同的同余序列當(dāng)中不可能有兩個(gè)數(shù)的差為13，對(duì)于任意一條長(zhǎng)度為x的序列，都最多能取個(gè)數(shù)，使得取出的數(shù)中沒有兩個(gè)數(shù)的差為13，即從第1個(gè)數(shù)起隔1個(gè)取1個(gè)．

基于以上，n個(gè)數(shù)分成13個(gè)序列，每條序列的長(zhǎng)度為或，兩個(gè)長(zhǎng)度差為1的序列，要使取出的數(shù)中沒有兩個(gè)數(shù)的差為13，能夠被取得的數(shù)的個(gè)數(shù)之差也不會(huì)超過1，所以為使57個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于13，則這57個(gè)數(shù)被分配在13條序列中，在每條序列被分配的數(shù)的個(gè)數(shù)差不會(huì)超過1，那么13個(gè)序列有8個(gè)序列分配了4個(gè)數(shù)，5個(gè)序列分配了5個(gè)數(shù)，則這13個(gè)序列中8個(gè)長(zhǎng)度為8，5個(gè)長(zhǎng)度為9，那么當(dāng)n最小為時(shí)，可以取出57個(gè)數(shù)，其中任兩個(gè)數(shù)的差不為13，所以要使任取57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，那么n的最大值為108．