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在如圖所示的幾何體中，△ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F為BE的中點．
（I）求證：平面DBE⊥平面ABE；
（II）求直線BD和平面ACDE所成角的余弦值．

如圖（1），四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，將△ABD沿對角線BD折起，記折起后點A的位置為P，且使平面PBD⊥平面BCD，如圖（2）．
（I）求證：平面PBC⊥平面PDC；
（II）在折疊前的四邊形ABCD中，作AE⊥BD于E，過E作EF⊥BC于F，求折起后的圖形中∠PFE的正切值．

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示：

（I）求證：PA⊥BD；
（II）連接AC、BD交于點O，在線段PD上是否存在一點Q，使直線OQ與平面ABCD所成的角為30°？若存在，求

|DQ|

|DP|

的值；若不存在，說明理由．

（2013•濟寧二模）如圖：C、D是以AB為直徑的圓上兩點，AB=2AD=2

3

，AC=BC，將圓沿直徑AB折起，使點C在平面ABD內的射影E落在BD上．
（I）求證：平面ACD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱錐C-ABD的體積．

如圖，等腰直角三角形SAB所在平面與直角梯形ABCD所在平面垂直，SA=SB=

2

且AB∥CD，DA⊥AB，AD=2，CD=4，E、F分別是線段SC、CD的中點．
（I）求證：平面BEF∥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角S-BD-F的余弦值．