如圖：正方形ABCO的邊長為3，過A（0，3）點作直線AD交x軸于D點，且D點的坐標為（4，0），線段AD上有一動點，以每秒一個單位長度的速度移動．
（1）求直線AD的解析式；
（2）若動點從A點開始沿AD方向運動2.5秒時到達的位置為點P，求經過B、O、P三點的拋物線的解析式；
（3）若動點從A點開始沿AD方向運動到達的位置為點P₁，過P₁作P₁E⊥x軸，垂足為E，設四邊形BCEP₁的面積為S，請問S是否有最大值？若有，請求出P點坐標和S的最大值；若沒有，請說明理由．