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如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A，C分別在DG和DE上，連接AE，BG．
（1）試猜想線段BG和AE的數量關系，請直接寫出你得到的結論；
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于0°，小于或等于360°），如圖②，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由；
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋轉過程中，當AE為最大值時，求AF的值．

如圖1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF繞著邊AB的中點D旋轉，DE，DF分別交線段AC于點M，K．
（1）觀察：①如圖2、圖3，當∠CDF=0°或60°時，AM+CKMK（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如圖4，當∠CDF=30°時，AM+CKMK（只填“＞”或“＜”）；
（2）猜想：如圖1，當0°＜∠CDF＜60°時，AM+CKMK，證明你所得到的結論；
（3）如果MK²+CK²=AM²，請直接寫出∠CDF的度數和

MK

AM

的值．

如圖1，以矩形OABC的兩邊OA和OC所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，A點的坐標為（3，0），C點的坐標為（0，4）．將矩形OABC繞O點逆時針旋轉，使B點落在y軸的正半軸上，旋轉后的矩形為OA₁B₁C₁，BC，A₁B₁相交于點M．
（1）求點B₁的坐標與線段B₁C的長；
（2）將圖1中的矩形OA₁B₁C₁沿y軸向上平移，如圖2，矩形PA₂B₂C₂是平移過程中的某一位置，BC，A₂B₂相交于點M₁，點P運動到C點停止．設點P運動的距離為x，矩形PA₂B₂C₂與原矩形OABC重疊部分的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如圖3，當點P運動到點C時，平移后的矩形為PA₃B₃C₃．請你思考如何通過圖形變換使矩形PA₃B₃C₃與原矩形OABC重合，請簡述你的做法．

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將△ABC繞點C逆時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），得到△A₁B₁C₁，連接BB₁．設CB₁交AB于點D，A₁B₁分別交AB、AC于點E、F．
（1）在圖中不再添加其他任何線段的情況下，請你找出圖中的所有全等三角形，并對不包括△ABC和△A₁B₁C₁的一對全等三角形加以證明；
（2）當α=60°時，求BD的長；
（3）當△BB₁D是等腰三角形時，求角α的度數．