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（本小題滿分13分） 已知雙曲線的兩個焦點為的曲線C上.

  （Ⅰ）求雙曲線C的方程；

  （Ⅱ）記O為坐標原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

（本小題滿分13分）

已知雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，右準線與軸交于點B，且與一條漸近線交于點C，點O為坐標原點，又，過點F的直線與雙曲線右交于點M、N，點P為點M關于軸的對稱點。

（1）求雙曲線的方程；

（2）證明：B、P、N三點共線；

（3）求面積的最小值。

（本小題滿分13分）已知雙曲線的焦點為,且離心率為2；

（Ⅰ）求雙曲線的標準方程；

（Ⅱ）若經過點的直線交雙曲線于兩點，且為的中點，求直線的方程。

（本小題滿分13分）

已知雙曲線的右焦點為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點，點的坐標是．

（I）證明，為常數；

（II）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程．

（本小題滿分13分）
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.

（1）求雙曲線的離心率；
（2）如圖，為坐標原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由.