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設f (x)＝sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)，其中x∈R．

(Ⅰ) 該函數的圖象可由 的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

(Ⅱ)若f (θ)＝，其中，求cos(θ＋)的值；

【解析】第一問中，

即變換分為三步，①把函數的圖象向右平移，得到函數的圖象；

②令所得的圖象上各點的縱坐標不變，把橫坐標縮短到原來的倍，得到函數的圖象；

③令所得的圖象上各點的橫坐標不變，把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數的圖象；

第二問中因為，所以，則，又 ，,從而

進而得到結論。

(Ⅰ) 解：

即。…………………………………3分

變換的步驟是：

①把函數的圖象向右平移，得到函數的圖象；

②令所得的圖象上各點的縱坐標不變，把橫坐標縮短到原來的倍，得到函數的圖象；

③令所得的圖象上各點的橫坐標不變，把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數的圖象；…………………………………3分

(Ⅱ) 解：因為，所以，則，又 ，,從而……2分

(1)當時，；…………2分

(2)當時；

 

在中，滿足,是邊上的一點.

（Ⅰ）若,求向量與向量夾角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

【解析】第一問中，利用向量的數量積設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求

第二問因為，=m所以，

（1）當時，則= 

（2）當時，則=

第三問中，解：設,因為，；

所以即于是得

從而

運用三角函數求解。

（Ⅰ）解：設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求……………2分

(Ⅱ)解：因為，=m所以，

（1）當時，則=；-2分

（2）當時，則=；--2分

（Ⅲ）解：設,因為，；

所以即于是得

從而---2分

==

=…………………………………2分

令，則，則函數，在遞減，在上遞增，所以從而當時，

 

已知，,

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

【解析】第一問中，因為，∴

∴或又∴

第二問中原式=

=進而得到結論。

（Ⅰ）解：∵∴

∴或……………………………………3分

又∴……………………………2分

(Ⅱ) 解：原式=  ……………………2分

=…………2分

=

 

某廠根據市場需求開發折疊式小凳（如圖所示）、凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細鋼管、考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設計小凳應滿足：①凳子高度為30cm，②三根細鋼管相交處的節點O與凳面三角形ABC重心的連線垂直于凳面和地面．
（1）若凳面是邊長為20cm的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為45°，確定節點O分細鋼管上下兩段的比值（精確到0.01）；
（2）若凳面是頂角為120°的等腰三角形，腰長為24cm，節點O分細鋼管上下兩段之比為2：3、確定三根細鋼管的長度（精確到0.1cm）．