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如圖，已知橢圓C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），拋物線P：x²=2py（p＞0）的焦點與F₁重合，過F₂的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點，且

F2B

=λ

AF2

．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動點T滿足：

ET

=μ(

EF1

+

EF2

)，μ∈(0，

1

2

)，且

ET

•

OT

的最小值為-

5

4

，求拋物線P的方程；
（3）當λ∈[2，4]時，求橢圓離心率e的取值范圍．

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如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F₂，其上頂點為A．已知△F₁AF₂是邊長為2的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（-4，0）任作一動直線l交橢圓C于M，N兩點，記

MQ

=-λ•

QN

若在線段MN上取一點R，使得

MR

=λ•

RN

，試判斷當直線l運動時，點R是否在某一定直線上運動？若在，請求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．

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如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點，右焦點分別為A、F，右準線為m．圓D：x²+y²+x-3y-2=0．
（1）若圓D過A、F兩點，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點為K，將直線l繞K順時針旋轉

π

4

得直線l，動點P在直線l上，過P作圓D的兩條切線，切點分別為M、N，求弦長MN的最小值．

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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴，

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當且僅當時取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，當且僅當時取＂＝＂．

故△ABC面積取最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三個球中數字最大者為3．

①三次取球均出現最大數字為3的概率；??????????????????????????????????????? 1分

②三次取球中有2次出現最大數字3的概率；???????????????????? 3分

③三次取球中僅有1次出現最大數字3的概率．????????????????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k時, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．???????? 8分

則ξ的概率分布列為：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ξ的數學期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．???????????????????????????????? 12分

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等邊三角形，設O是AA₁的中點，連接BO，則BO⊥AA₁． 2分

∵側面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面積為，知C到AA₁的距離為，，∴△AA₁C₁是等邊三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB兩兩垂直，以O為原點，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，．則，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

設是平面ABC的一個法向量，

則即

令，則．設A₁到平面ABC的距離為d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC₁的一個法向量．   9分

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），對稱軸方程為，故函數在[0,1]上為增函數，∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

當時，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∵            ①

∴       ②

②-①得，即，?????????????????????????????????????????????????? 4分

則，∴數列是以為首項，為公比的等比數列．

∴，∴．?????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????????????????????????????????????????????? 7分

可知：當時，；當時，；當時，．

即?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

可知存在正整數或6，使得對于任意的正整數n，都有成立．???????????? 12分

21．解：（Ⅰ）設，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，．

∴橢圓的方程為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????????????????????????????? 5分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個不同點，設，

，

∴，，???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

∴，

由，，．?????????????????? 8分

．???????????????????????????????????????? 9分

（或）．

設，則，，，

令，則，

∴在時單調遞增，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴S關于μ在區間單調遞增，，，

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

（或，

∴S關于u在區間單調遞增，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∵，，．）????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因為，，則，     1分

當時，；當時，．

∴在上單調遞增；在上單調遞減，

∴函數在處取得極大值．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵函數在區間（其中）上存在極值，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即為，?????????????????????????????????????????? 4分

記，∴，??????? 5分

令，則，∵，∴，在上遞增，

∴，從而，故在上也單調遞增，

∴，

∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??????????? 8分

令則，????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴，

，

，

………

，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

疊加得：

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

則，

∴.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分