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 如圖，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁是菱形，四邊形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°。

（1）求證：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；      

（2）求直線A₁C與平面BCC₁B所成角的正切值；

（3）求點C₁到平面A₁CB的距離。

A1

B1

 

 

C1

   

 

B

A

C

 

 

 

 

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評分說明：

1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則．

2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

4．只給整數分數．選擇題不給中間分．

一．選擇題

1．D      2．B       3．B       4．C       5．A      6．C       7．C       8．A      9．B       10．D

11．B     12．D

二．填空題

13．300；     14．60；       15．①、②③或①、③②；     16．103．

三．解答題

17．解：

（Ⅰ）因為點的坐標為，根據三角函數定義可知，，，

所以．     2分

（Ⅱ）∵，，∴． 3分

由余弦定理，得 

．   5分

∵，∴，∴． 7分

∴，∴．     9分

故BC的取值范圍是．（或寫成） 10分

18．解：

（Ⅰ）記“恰好選到1個曾經參加過社會實踐活動的同學”為事件的，    1分

則其概率為．   5分

（Ⅱ）記“活動結束后該宿舍至少有3個同學仍然沒有參加過社會實踐活動”為事件的B，“活動結束后該宿舍仍然有3個同學沒有參加過社會實踐活動”為事件的C，“活動結束后該宿舍仍然有4個同學沒有參加過社會實踐活動”為事件的D． 6分

∵，．     10分

=+=．      12分

19．證：

（Ⅰ）因為四邊形是矩形∴，

又∵AB⊥BC，∴平面．     2分

∵平面，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．       3分

解：（Ⅱ）過A₁作A₁D⊥B₁B于D，連接，

∵平面，

∴BC⊥A₁D．

∴平面BCC₁B₁，

故∠A₁CD為直線與平面所成的角．

       5分

在矩形中，，

因為四邊形是菱形，∠A₁AB＝60°, CB＝3，AB＝4，

，． 7分

（Ⅲ）∵，∴平面．

∴到平面的距離即為到平面的距離． 9分

連結，與交于點O，

∵四邊形是菱形，∴．

∵平面平面，∴平面．

∴即為到平面的距離． 11分

，∴到平面的距離為．  12分

20．解：

（Ⅰ）由題意，，  1分

又∵數列為等差數列，且，∴．   3分

∵，∴．     5分

（Ⅱ）的前幾項依次為， 7分

∴＝5．    8分

∴＝．    12分

21．解：

（Ⅰ）∵，     2分

由，得或．     4分

的單調增區間為和．  5分

（Ⅱ）當時，恒有||≤2，即恒有成立．

即當時，      6分

由（Ⅰ）知在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數，

∵，，∴．

∴_max＝．       8分

∵，，∴．

∴_min＝．   10分

由且．解得．

所以，當時，函數在上恒有||≤2成立． 12分

22．解：

（Ⅰ）由已知，，

由解得    2分

∵，∴

軸，．  4分

∴，

∴成等比數列．    6分

（Ⅱ）設、，由

消得  ，

∴   8分

∵

．     10分

∵，∴．∴，或．

∵m>0，∴存在，使得．     12分