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已知函數f（x）=e^x+ax²，其中a為實常數．
（1）若f（x）在區間（1，2）上單調遞減，求實數a的取值范圍；
（2）當a=-2時，求證：f（x）有3個零點；
（3）設y=g（x）為f（x）在x₀處的切線，若“?x≠x₀，（f（x）-g（x））（x-x₀）＞0”，則稱x₀為f（x）的一個優美點，是否存在實數a，使得x₀=2是f（x）的一個優美點？說明理由．（參考數據：e≈2.718）

已知函數f（x）=asinx+bcosx的圖象經過點(

π

6

，0)，(

π

3

，1)．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）當x∈R時，求f（x）的單調遞減區間；
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]，是否存在實數m使函數g(x)=

3

f(x)+m2的最大值為4？若存在，求出實數m的值，若不存在，說明理由．

已知函數f(x)=

a

x

+x+(a-1)lnx+15a，F（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2，其中a＜0且a≠-1．
（Ⅰ） 當a=-2，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ） 若x=-1時，函數F（x）有極值，求函數F（x）圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅲ）設函數g（x）=

F(x)，x≤1 f(x)，x＞1

（e是自然對數的底數），是否存在a使g（x）在[a，-a]上為減函數，若存在，求實數a的范圍；若不存在，請說明理由．

已知函數f（x）=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

，a≠0且a≠1．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調增區間；
（2）已知當x＞0時，函數在（0，

6

）上單調遞減，在（

6

，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）記（2）中的函數圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．