題目列表(包括答案和解析)
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等比數列
的公比為q，第8項是第2項與第5項的等差中項.
（1）求公比q；
（2）若的前n項和為
，判斷
是否成等差數列，并說明理由. 
等比數列
的公比為q，第8項是第2項與第5項的等差中項.
（1）求公比q；
（2）若的前n項和為
，判斷
是否成等差數列，并說明理由.
等比數列
滿足
，
，數列
滿足
（1）求的通項公式；（5分）
（2）數列
滿足
，
為數列的前
項和．求
；（5分）
（3）是否存在正整數
，使得
成等比數列？若存在，求出所有
的值；若不存在，請說明理由．（6分）
一、填空題：
1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
； 7．
8．
； 9．21； 10．
；
11．
；12．
； 13．
； 14．
二、解答題：
15．（1）編號為016； ----------------------------3分
（2）
分組
頻數
頻率
60.5~70.5
8
0.16
70.5~80.5
10
0.20
80.5~90.5
18
0.36
90.5~100.5
14
0.28
合計
50
1
------------- ----------------------------8分
（3）在被抽到的學生中獲二獎的人數是9+7=16人，
占樣本的比例是
，即獲二等獎的概率約為32%，
所以獲二等獎的人數估計為800×32%=256人。有 ------------------------13分
答：獲二等獎的大約有256人。 -----------------------------------14分
16．解：（1） B=600，A＋C＝1200， C＝1200 －A，
∴ sinA－sinC＋
cos（A－C）
＝
sinA－
cosA＋［1－2sin2（A－60°）］=，
∴sin（A－60°）［1－
sin（A－60°）］＝0?
-------------------------4分
∴sin（A－60°）＝0或sin（A－60°）＝， 又0°＜A＜120°，
∴A＝60°或105°．??? -------------------------8分
(2) 當A＝60°時，Ｓ△＝ａcsinB＝×4Ｒ2sin360°＝
------------11分
當A＝105°時,?S△＝×4Ｒ2?sin105°sin15°sin60°＝
----------------14分
17．解：（1）如四面體A1-ABC或四面體C1-ABC或四面體A1-ACD或四面體C1-ACD； ---4分
（2）如四面體B1-ABC或四面體D1-ACD； -------------------------8分
（3）如四面體A-B1CD1（3分 ）； -------------------------11分
設長方體的長、寬、高分別為
，則
．---------14分
18．（1）如圖，由光學幾何知識可知，點
關于
的對稱點
在過點
且傾斜角為
的直線
上。在
中，橢圓長軸長
， ----4分
又橢圓的半焦距
，∴
，
∴所求橢圓的方程為
．
-----------------------------7分
（2）路程最短即為上上的點
到圓
的切線長最短，由幾何知識可知，應為過原點且與垂直的直線與的交點，這一點又與點
關于對稱，∴
，故點的坐標為
．
-------------------------15分
注：用代數方法求解同樣分步給分！
19． 解：（1）若
，對于正數
，
的定義域為
，但 的值域
，故
，不合要求． --------------------------2分
若
，對于正數，的定義域為
． -----------------3分
由于此時
，
故函數的值域
．
------------------------------------6分
由題意，有
，由于
，所以
．------------------8分
20．解：（1）依題意數列
的通項公式是
，
故等式即為
，
同時有
，
兩式相減可得
------------------------------3分
可得數列
的通項公式是
，
知數列是首項為1，公比為2的等比數列。 ---------------------------4分
（2）設等比數列的首項為，公比為
，則
，從而有：
，
又
，
故
-----------------------------6分
，
要使
是與
無關的常數，必需
， ----------------------------8分
即①當等比數列的公比時，數列是等差數列，其通項公式是
；
②當等比數列的公比不是2時，數列不是等差數列． ------------9分
（3）由（2）知
， ------------------------------------------10分
--------------14分
----------------------------16分
是
的中點，
；
---------------------------------------------------------4分
的特征多項式為
，
, -----------------------------------------------------------------------5分
,當
．
----------------------------------------6分
，得
． -------------------------------------7分
．--------------------10分
，∴
， 
，
，三個同向正值不等式相乘得
．------------------------------5分
時原不等式仍然成立．
、
、
、
證；
．-------------------------------------10分
，則
碼---------------------------------------------------------------2分
----------------------------------------------4分
的可能取值為2，3，4，5，--------------------------------------5分
，
，
+
． --------------------------------------------------8分
． --------------------------------9分
；所求數學期望是
．----------------------------10分