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數列a_n的首項為a（a＞0），它的前n項的和是S_n．
（1）若數列a_n是等差數列，公差為d，d≠0，且數列也是等差數列，①求d；②求證：∑_i=1ⁿ＜．
（2）數列S_n是公比為q的等比數列，且q≠1，不等式S_n．≥ka_n對任意正整數n都成立，求k的值或k的取值范圍．

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一、填空題：

 1．；             2．；               3．；         4．；          5．；

6．；      7．              8．；      9．21；                      10．；

11．；12．；           13．；       14．

二、解答題：

15．（1）編號為016；                     ----------------------------3分

（2）

分組

頻數

頻率

60.5~70.5

8

0.16

70.5~80.5

10

0.20

80.5~90.5

18

0.36

90.5~100.5

14

0.28

合計

50

1

  ------------- ----------------------------8分

（3）在被抽到的學生中獲二獎的人數是9+7=16人，

占樣本的比例是，即獲二等獎的概率約為32%，

所以獲二等獎的人數估計為800×32%=256人。有   ------------------------13分

答：獲二等獎的大約有256人。       -----------------------------------14分

16．解：（1） B=60⁰，A＋C＝120⁰， C＝120⁰ －A，

∴ sinA－sinC＋ cos（A－C）

＝sinA－ cosA＋［1－2sin²（A－60°）］=，

∴sin（A－60°）［1－ sin（A－60°）］＝0?      -------------------------4分

∴sin（A－60°）＝0或sin（A－60°）＝， 又0°＜A＜120°，

∴A＝60°或105°．???                          -------------------------8分

(2) 當A＝60°時，Ｓ_△＝ａcsinB＝×4Ｒ²sin³60°＝         ------------11分

當A＝105°時,?S_△＝×4Ｒ²?sin105°sin15°sin60°＝  ----------------14分

17．解：（1）如四面體A₁-ABC或四面體C₁-ABC或四面體A₁-ACD或四面體C₁-ACD； ---4分

（2）如四面體B₁-ABC或四面體D₁-ACD；        -------------------------8分

（3）如四面體A-B₁CD₁（3分 ）；              -------------------------11分

設長方體的長、寬、高分別為，則 ．---------14分

18．（1）如圖，由光學幾何知識可知，點關于的對稱點在過點且傾斜角為的直線上。在中，橢圓長軸長，   ----4分

又橢圓的半焦距，∴，

∴所求橢圓的方程為．             -----------------------------7分

   （2）路程最短即為上上的點到圓的切線長最短，由幾何知識可知，應為過原點且與垂直的直線與的交點，這一點又與點關于對稱，∴，故點的坐標為．                                 -------------------------15分

注：用代數方法求解同樣分步給分！

19． 解：（1）若，對于正數，的定義域為，但 的值域，故，不合要求．  --------------------------2分

若，對于正數，的定義域為． -----------------3分

由于此時，

故函數的值域．    ------------------------------------6分

由題意，有，由于，所以．------------------8分

20．解：（1）依題意數列的通項公式是，

故等式即為，

同時有，

兩式相減可得 ------------------------------3分

可得數列的通項公式是，

知數列是首項為1，公比為2的等比數列。 ---------------------------4分

（2）設等比數列的首項為，公比為，則，從而有：

，

又，

故          -----------------------------6分

，

要使是與無關的常數，必需，  ----------------------------8分

即①當等比數列的公比時，數列是等差數列，其通項公式是；

②當等比數列的公比不是2時，數列不是等差數列．    ------------9分

（3）由（2）知，    ------------------------------------------10分

  --------------14分

    ----------------------------16分