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平面圖形ABB₂A₂C₃C如圖4所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC=，A₁B₁=A₁C₁=．現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B₁C₁折疊，使△ABC與△A₁B₁C₁所在平面都與平面BB₁C₁C垂直，再分別連接A₂A，A₂B，A₂C，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題．
（Ⅰ）證明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的長；
（Ⅲ）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

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平面圖形ABB₂A₂C₃C如圖4所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC=，A₁B₁=A₁C₁=．現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B₁C₁折疊，使△ABC與△A₁B₁C₁所在平面都與平面BB₁C₁C垂直，再分別連接A₂A，A₂B，A₂C，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題．
（Ⅰ）證明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的長；
（Ⅲ）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

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平面圖形ABB₁A₁C₁C如下圖1所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC＝2，BB₁＝4，AB＝AC＝，A₁B₁＝A₁C₁＝．現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B₁C₁折疊，使ΔABC與ΔA₁B₁C₁所在平面都與平面BB₁C₁C垂直，再分別連接AA₁，BA₁，CA₁，得到如下圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題．

(Ⅰ)證明：AA₁⊥BC；

(Ⅱ)求AA₁的長；

(Ⅲ)求二面角A－BC－A₁的余弦值．

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如圖平面SAC⊥平面ACB，△SAC是邊長為4的等邊三角形，△ACB為直角三角形，∠ACB=90°，BC=4

2

，求二面角S-AB-C的余弦值．

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說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點(diǎn)和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．

      2．對解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運(yùn)算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

B

A

B

C

C

D

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運(yùn)算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

9．    10．        11．         12.  

13.           14．     15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16．(本小題滿分12分)          

解：（1）∵

                                                    …… 2分

                                               …… 4分       

             .                                              …… 6分

∴.                                                       …… 8分

(2) 當(dāng)時(shí), 取得最大值, 其值為2 .                      ……10分

此時(shí)，即Z.                        ……12分

17．(本小題滿分12分)

解：（1）設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件，.             ……3分

即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為．                                  ……4分

（2）的可能取值為1，2，3．                                            ……5分

=，                                                 

=，                                             

=，                                            ……8分

∴的概率分布列為：

1

2

3

                 ……10分

∴=．                             ……12分

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵點(diǎn)A、D分別是、的中點(diǎn)，

∴.                                        …… 2分                   

∴∠=90º.

∴.

∴ ,                                                    

∵,

∴⊥平面.                                               …… 4分

∵平面,

∴.                                                    …… 6分

（2）法1：取的中點(diǎn)，連結(jié)、．

∵,

∴.                                      

∵,

∴平面.

∵平面,

∴.                    …… 8分  

∵

∴平面.

∵平面,

∴.

∴∠是二面角的平面角.                              ……10分

在Rt△中, ，

在Rt△中, ，

.                                       ……12分

∴ 二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

法2：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,       ……8分

設(shè)平面的法向量為=（x，y，z），則：

，                      ……10分

令，得，

∴=（1，1，－1）.

顯然，是平面的一個(gè)法向量，=（）．               ……12分

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,                                            …… 2分           

      ∵,

∴.                                        …… 4分

∴所求橢圓的方程為.                                    …… 6分

（2）∵ 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，

∴                                            ……8分

解得：，.                                 ……10分

∴.                                                ……12分

∵ 點(diǎn)在橢圓:上,

∴, 則.

∴的取值范圍為.                                  ……14分

20.（本小題滿分14分）

解：（1）數(shù)表中前行共有個(gè)數(shù)，

即第i行的第一個(gè)數(shù)是，                                       …… 2分

         ∴＝．

∵，＝2010，

∴ i＝11．                                                         …… 4分

令,    

解得．                                      …… 6分

（2）∵

．                                          …… 7分

∴．                   

當(dāng)時(shí), , 則;

當(dāng)時(shí), , 則;

當(dāng)時(shí), , 則;

當(dāng)時(shí), 猜想: .                                  …… 11分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.

① 當(dāng)時(shí),, 即成立;

② 假設(shè)當(dāng)時(shí), 猜想成立, 即,

  則,

∵,

∴.

即當(dāng)時(shí)，猜想也正確.

由①、②得當(dāng)時(shí), 成立.

當(dāng)時(shí),.                                               …… 13分

綜上所述, 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí),.          …… 14分

另法( 證明當(dāng)時(shí), 可用下面的方法):

當(dāng)時(shí), C + C + C+ C

                     .

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

∴.                    

       令=0, 得 .                                     …… 2分                   

當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),, 在上單調(diào)遞增.                    …… 4分   

∴ 當(dāng)時(shí), 取得極大值為;

當(dāng)時(shí), 取得極小值為.        …… 6分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                           …… 7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調(diào)遞增 .                                                   

∵f（0），,                  

∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．        …… 9分 

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

當(dāng)變化時(shí)，的取值情況如下表：                       

x

x₁

（x₁，x₂）

x₂

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

                                       …… 11分

∵,

∴.

∴

        .

同理.

∴

.

          令f（x₁）?f（x₂）＞0,  解得a＞．                                    

          而當(dāng)時(shí),,

          故當(dāng)時(shí), 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).           …… 13分                            

綜上所述，a的取值范圍是．                                  …… 14分

2009年廣州市高三年級調(diào)研測試

數(shù)  學(xué)（理科）

二、填空題: 本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中13 ~ 15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分. 把答案填在下面的橫線上.

9．                      10.               11.               12.            

13.                 &