題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
B
C
C
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
9．
10．
11．
12. 
13. 
14．
15．2
說明：第14題答案可以有多種形式，如可答
或
Z
等, 均給滿分.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本小題滿分12分)
解：（1）∵
…… 2分
…… 4分
.
…… 6分
∴
.
…… 8分
(2) 當
時, 
取得最大值, 其值為2 .
……10分
此時
，即
Z.
……12分
17．(本小題滿分12分)
解：（1）設“這箱產品被用戶接收”為事件
，
. ……3分
即這箱產品被用戶接收的概率為
．
……4分
（2）
的可能取值為1，2，3．
……5分
=
，
=
，
=
，
……8分
∴的概率分布列為：
1
2
3
……10分
∴
=
．
……12分
18．(本小題滿分14分)
解：（1）∵點A、D分別是
、
的中點，
∴
.
…… 2分
∴∠
=90º.
∴
.
∴ 
,
∵
,
∴
⊥平面
. …… 4分
∵
平面,
∴
.
…… 6分
（2）法1：取
的中點
，連結
、
．
∵
,
∴
.
∵
,
∴
平面
.
∵
平面,
∴
.
…… 8分
∵
∴
平面
.
∵
平面,
∴
.
∴∠
是二面角
的平面角. ……10分
在Rt△
中, 
，
在Rt△中, 
，
. ……12分
∴ 二面角的平面角的余弦值是
. ……14分
法2：建立如圖所示的空間直角坐標系
．
則
（－1，0，0），
（－2，1，0），（0，0，1）.
∴
=（－1，1，0），
=（1，0，1）,
……8分
設平面
的法向量為
=（x，y，z），則：
，
……10分
令
，得
，
∴=（1，1，－1）.
顯然，
是平面
的一個法向量，=（
）．
……12分
∴cos<，>=
．
∴二面角的平面角的余弦值是. ……14分
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,
…… 2分
∵
,
∴
.
…… 4分
∴所求橢圓的方程為
.
…… 6分
（2）∵ 點
關于直線
的對稱點為
，
∴ 
……8分
解得：
，
.
……10分
∴
.
……12分
∵
點在橢圓:上,
∴
, 則
.
∴
的取值范圍為
.
……14分
20.（本小題滿分14分）
解：（1）數表中前
行共有
個數，
即第i行的第一個數是
，
…… 2分
∴
＝
．
∵
，＝2010，
∴ i＝11． …… 4分
令
,
解得
．
…… 6分
（2）∵
．
…… 7分
∴
．
當
時, 
, 則
;
當
時, , 則;
當
時, , 則;
當
時, 猜想:
.
…… 11分
下面用數學歸納法證明猜想正確.
① 當
時,
, 即成立;
② 假設當
時, 猜想成立,
即
,
則
,
∵
,
∴
.
即當
時，猜想也正確.
由①、②得當
時, 成立.
當時,
.
…… 13分
綜上所述, 當
時, ; 當時,.
…… 14分
另法( 證明當時, 可用下面的方法):
當時, 
C
+ C
+ C
+ C
.
21. (本小題滿分14分)
解：（1）當
時，
，
∴
.
令=0, 得 
.
…… 2分
當
時,
, 則
在
上單調遞增;
當
時,
, 則在
上單調遞減;
當
時,, 在
上單調遞增.
…… 4分
∴ 當
時, 取得極大值為
;
當
時, 取得極小值為
. …… 6分
（2） ∵ = 
，
∴△= 
= 
.
① 若a≥1，則△≤0， …… 7分
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調遞增 .
∵f（0）
，
,
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． …… 9分
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
當
變化時，
的取值情況如下表：
x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
…… 11分
∵
,
∴
.
∴
.
同理
.
∴
.
令f（x1）?f（x2）＞0, 解得a＞
．
而當
時,
,
故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.
…… 13分
綜上所述，a的取值范圍是
．
…… 14分
2009年廣州市高三年級調研測試
數 學（理科）
二、填空題: 本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中13 ~ 15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分. 把答案填在下面的橫線上.
9． 10. 11. 12.
13. &
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