題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
一.選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
B
C
A
C
B
A
二.填空題
11. 
12. ② 13． 
14.
120 15． 
三.解答題
16．解：（Ⅰ）
. …………………………………3分
由
，得
．
………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
. ………………8分
由
,得
.
當
,即
時,函數
有最大值
. ……………………12分
17．解：設此工人一個季度里所得獎金為
，則是一個離散型隨機變量.由于該工人每月完成任務與否是等可能的,所以他每月完成任務的概率等于. …………………2分
所以, 
,
,
,
. …………8分
于是
.
所以此工人在一個季度里所得獎金的期望為153. 75元. ……………………12分
18．解：（Ⅰ）取BC的中點H,連結PH, 連結AH交BD于E.
. ……………………………2分
又面
面
,
面.
,
.
,
.
,即
. ………………………………………………4分
因為AH為PA在平面上的射影,
. ……………………………6分
（Ⅱ）連結PE,則由（Ⅰ）知
.
為所求二面角的平面角. ……………………………………………8分
在
中,由
,求得
.
.
即所求二面角的正切值為
. …………………………………………………12分
另解：（Ⅰ)建系設點正確2分,求出兩個法向量2分,判斷正確2分;
(Ⅱ)求出兩個法向量3分,求出余弦值2分,求出正切值1分.
19. 解：（Ⅰ）設
,則
,
.
即點C的軌跡方程為
. …………………………………………………3分
（Ⅱ）
由題意
.
. ……………5分
.
,
. ……………………………8分
（Ⅲ）
.
.
.
∴雙曲線實軸長的取值范圍是
. ………………………………………………12分
20．解: (Ⅰ)由已知得的定義域為
,
. ………………2分
由題意得
對一切
恒成立,
……………………………………………5分
當時,
,
.故
.
…………………………………………7分
(Ⅱ)假設存在正實數
,使得
成立.
.
…………………9分
由
,得
,
.由于
,故應舍去.
當
時,
………………………………………11分
令
,解得
或
. …………………………13分
另解: 假設存在正實數,使得成立.
設
,則
. ………………………9分
由
,解得
或
.
因為
,
在
上單調遞增,在
上單調遞減.
. … ……………………………………11分
令
,解得或. …………………………13分
21．解：（Ⅰ）由已知
，得
.
則數列
是公比為2的等比數列. ……………………………………………2分
又
. ……………………………………………4分
（Ⅱ）
. …………………6分
恒成立，則
解得
故存在常數A，B，C，滿足條件. …………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
. …………………14分
=
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