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⒈ 一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1 解不等式. 分析一:利用前節的方法求解, 分析二:由乘法運算的符號法則可知.若原不等式成立.則左邊兩個因式必須異號.∴原不等式的解集是下面兩個不等式組:與的解集的并集.即{x|}∪}=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.書寫時可按下列格式: 解二:∵<0或 x∈φ或-4<x<1-4<x<1. ∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 小結: 一元二次不等式的代數解法:設一元二次不等式相應的方程的兩根為. 則, ①若當時.得或,當時.得. ②若當時.得,當時.得. 分析三:由于不等式的解與相應方程的根有關系.因此可求其根并由相應的函數值的符號表示出來即可求出不等式的解集. 解:①求根:令=0.解得x分別為-4.1.這兩根將x軸分為三部分:(-.-4)(1.+), ②分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號 (-.-4) (1.+) x+4 - + + x-1 - - + + - + ③由上表可知.原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 例2:解不等式:>0, 解:①檢查各因式中x的符號均正, ②求得相應方程的根為:-2.1.3, ③列表如下: -2 1 3 x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 - - - + 各因式積 - + - + ④由上表可知.原不等式的解集為:{x|-2<x<1或x>3}. 小結:此法叫列表法.解題步驟是: ①將不等式化為>0形式.令=0.求出各根.不妨稱之為分界點.一個分界點把數軸分成兩部分.n個分界點把數軸分成n+1部分--, ②按各根把實數分成的n+1部分.由小到大橫向排列.相應各因式縱向排列(由對應較小根的因式開始依次自上而下排列), ③計算各區間內各因式的符號.下面是乘積的符號, ④看下面積的符號寫出不等式的解集. 練習:解不等式:x>0. {x|-1<x<0或2<x<3}. 思考:由函數.方程.不等式的關系.能否作出函數圖像求解直接寫出解集:{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3} 在沒有技術的情況下: 可大致畫出函數圖形求解.稱之為根軸法 ①將不等式化為>0形式.并將各因式x的系數化“+ , ②求根.并在數軸上表示出來, ③由右上方穿線.經過數軸上表示各根的點, ④若不等式是“>0 ,則找“線在x軸上方的區間,若不等式是“<0 ,則找“線在x軸下方的區間. 注意:奇過偶不過例3 解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解:①檢查各因式中x的符號均正, ②求得相應方程的根為:-1.2.3(注意:2是二重根.3是三重根), ③在數軸上表示各根并穿線.每個根穿一次(自右上方開始奇過偶不過).如下圖: ④∴原不等式的解集為:{x|-1<x<2或2<x<3}. 說明:∵3是三重根.∴在C處過三次.2是二重根.∴在B處過兩次.結果相當于沒過.由此看出.當左側fn時.n為奇數時.曲線在x1點處穿過數軸,n為偶數時.曲線在x1點處不穿過數軸.不妨歸納為“奇過偶不過 . 練習:解不等式:0. 解:①將原不等式化為:20, ②求得相應方程的根為:-2.-1.3, ③在數軸上表示各根并穿線.如圖: ④∴原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}. 說明:注意不等式若帶“= 號.點畫為實心.解集邊界處應有等號,另外.線雖不穿過-2點.但x=-2滿足“= 的條件.不能漏掉. 2．分式不等式的解法例4 解不等式:. 錯解:去分母得 ∴原不等式的解集是. 解法1:化為兩個不等式組來解: ∵x∈φ或. ∴原不等式的解集是. 解法2:化為二次不等式來解: ∵. ∴原不等式的解集是說明:若本題帶“= .即0.則不等式解集中應注意x-7的條件.解集應是{x| -7<x3}. 小結:由不等式的性質易知:不等式兩邊同乘以正數.不等號方向不變,不等式兩邊同乘以負數.不等號方向要變,分母中有未知數x.不等式兩邊同乘以一個含x的式子.它的正負不知.不等號方向無法確定.無從解起.若討論分母的正負.再解也可以.但太復雜.因此.解分式不等式.切忌去分母. 解法是:移項.通分.右邊化為0.左邊化為的形式. 例5 解不等式:. 解法1:化為不等式組來解較繁. 解法2:∵ . ∴原不等式的解集為{x| -1<x1或2x<3}. 也可以直接用根軸法求解: 練習:1.課本P21練習:3⑴⑵,2.解不等式. 答案:1.⑴{x|-5<x<8},⑵{x|x<-4,或x>-1/2},2.{x|-13<x<-5}. 2解不等式:.(答:{x|x0或1<x<2}) 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

研究、體會一元二次不等式與二次函數、一元二次方程的密切聯系。

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下列幾個命題：
①函數y=

x2-1

1-x2

是偶函數，但不是奇函數；
②“

a＞0

△=b2-4ax≤0

”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件；
③設函數y=f（x）定義域為R，則函數y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關于y軸對稱；
④若函數y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數，則φ=

+kπ（k∈Z）；⑤已知x∈（0，π），則y=sinx+

sinx

的最小值為2

．
其中正確的有

②④

．

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以函數觀點來看，一元二次不等式ax²+bx+c＞0(a＞0)的解集，就是二次函數y=ax²+bx+c(a＞0)在x軸上方的點的　　　　的集合，而一元二次方程ax²+bx+c=0(a＞0)的根就是相應的二次函數與x軸交點的　　　　.因此，一般而言，要解一元二次不等式，只要先解相應的一元二次方程即可.

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一元二次不等式的解集與一元二次方程的根及二次函數圖象之間的關系分類列表如下:

約定:Δ=b²-4ac,a≠0,x₁＜x₂.?

Δ的符號	a的符號	ax²+bx+c＞0		ax²+bx+c＜0
Δ的符號	a的符號	解　集	圖　象	解　集	圖　象
Δ＜0	a＞0
Δ＜0	a＜0
Δ=0	a＞0
Δ=0	a＜0
Δ＞0	a＞0
Δ＞0	a＜0

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已知一元二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，其中一個公共點的坐標為（c，0），且當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0．
（1）當a=1，c=

時，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函數的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8，求a的取值范圍；
（4）若不等式m²-2km+1+b+ac≥0對所有k∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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同步練習冊答案

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