題目列表(包括答案和解析)
（I）設
是各項均不為零的等差數列
，且公差
，若將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：
①當
時，求
的數值；②求
的所有可能值；
（II）求證：對于一個給定的正整數，存在一個各項及公差都不為零的等差數列
，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列。
（文）
設函數
,其圖象在點
，
處的切線的斜率分別為
（I）求證：
；
（II）若函數
的遞增區間為
，求|
|的取值范圍；
（III）若當
時（
是與
無關的常數），恒有
，試求
的最小值。
（I）設
是各項均不為零的等差數列
，且公差
，若將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：
①當
時，求
的數值；②求
的所有可能值；
（II）求證：對于一個給定的正整數，存在一個各項及公差都不為零的等差數列
，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列。
的數值；（本小題滿分13分）
品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出
瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試。根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評為。
現設
，分別以
表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號，并令
，
則
是對兩次排序的偏離程度的一種描述。
(Ⅰ)寫出的可能值集合；
(Ⅱ)假設等可能地為1,2,3,4的各種排列，求的分布列；
(Ⅲ)某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有
，
(i)試按(Ⅱ)中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；
(ii)你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由。
一、選擇題
1. B 2. C 3. A 4. D 5. C 6. D 7. B 8. C 9. A 10. D
二、填空題
11. 192 12. 286 13. 
14. 
15.
840 16. 
三、解答題
17. （本題12分）
解：（I）
2分
（II）
8分
由已知條件
根據正弦定理，得
10分
12分
18. （本題12分）
解：（I）在7人中選出3人，總的結果數是
種， （2分）
記“被選中的3人中至多有1名女生”為事件A，則A包含兩種情形：
①被選中的是1名女生，2名男生的結果數是
，
②被選中的是3名男生的結果數是
4分
至多選中1名女生的概率為
6分
（II）由題意知隨機變量
可能的取值為：0，1，2，3，則有
，
8分
∴
0
1
2
3
P
10分
∴的數學期望
12分
19. （本題12分）
解：（I）連接PO，以OA，OB，OP所在的直線為x軸，y軸，z軸
建立如圖所示的空間直角坐標系。 2分
∵正四棱錐的底面邊長和側棱長都是2。
∴
∴
（II）∵
∴
是平面PDB的一個法向量。 8分
由（I）得
設平面BMP的一個法向量為
則由
，得
，不妨設c=1
得平面BMP的一個法向量為
10分
∵二面角M―PB―D小于90°
∴二面角M―PB―D的余弦值為
12分
20. （本題12分）
解：（I）由已知得
2分
由
，得 4分
即
。解得k=50或
（舍去）
6分
（II）由
，得
8分
9分
是等差數列
則
11分
12分
21. （本題14分）
解：（I）依題意得
2分
把
解得
∴橢圓的方程為
4分
（II）由（I）得
，設
，如圖所示，
∵M點在橢圓上，
∴
①
∵M點異于頂點A、B，
∴
由P、A、M三點共線，可得
，
從而
7分
∴
② 8分
將①式代入②式化簡得
10分
∵
∴
12分
于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
∴點B在以MN為直徑的圓內。 14分
22. （本題14分）
解：（I）
，
令
2分
而
∴當
4分
（II）設函數g(x)在[0，2]上的值域是A，
∵若對任意
∴
6分
①當
，
∴函數
上單調遞減。
∵
∴
； 8分
②當
令
（舍去） 9分
（i）當
時，
的變化如下表：
（ii）當
∴函數g(x)在（0，2）上單調遞減。
綜上可知，實數a的取值范圍是
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