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如圖所示，已知橢圓C：x2+

y2

a2

=1（a＞1）的離心率為e，點F為其下焦點，點A為其上頂點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=

a2-1

與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足

AP

•

AQ

=

a2(a+c)2-1

2-c2

．
（1）試用a表示m²；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（

1

3

，

1

2

），求m的取值范圍．

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一、選擇題：(每小題5分，共60分)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

A

B

D

D

D

A

A

D

B

B

C

二、填空題(每小題4分，共16分)

13．90°   14. m<且m≠-    15. 12      16.

三、解答題

17．(12分)           (3分)

           sinsin+coscos=                  (6分)

           cos(-)=                              (8分)

                             (10分)

         ∴sin(-)=-             (12分)

18.(12分)

  (1)略              (6分)

  (2)不垂直          (12分)

方法一：求出EF=，BE=，取EC中點G，BG=2，GF=1，BF=

∴△BEF是等腰三角形

∴EF與BF不垂直

∴EF與平面BDC不垂直。

方法二：向量法，如圖建立坐標系

E(0,0，0)，F(1,1，0)，B(0,1，2)，C(0,2，0)

        =(1,1，0)，=(0,1，2)

∴EF與BC不垂直   ∴EF與平面BDC不垂直。

  19.(12分)

  (1)方法一：直線亙這定點P(0,1)           (2分)

而P(0,1)在橢圓C內           (3分)

           ∴與C恒有兩個不同交點        (4分)

  方法二：由     (2分)

          △=(2m)²+4×3×(4+m²)>0                    (3分)

          ∴與C恒有兩個不同交點                   (4分)

  (2)方法一：設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M(x,y)則

                   (6分)

           x₁+x₂+=0(∵x₁≠x₂)

             x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y,k=m             (8分)

          ∴x+m=0                            (9分)

          又y=mx+1                            (10分)

        消去m得4x²+(y-)²=                (12分)

        ∴M點軌跡方程為4x²+y²-y=0(y≠0)

方法二：由(4+m²)x²+2mx-3=0

                         (10分)

         消去m得4x²+y²-y=0(y≠0)    

        ∴M點軌跡方程為4x²+y²-y=0(y≠0)          (12分)

20．(14分)

(理)(1)P₁=，P₂=，P₃=

(2)P_n+2-P_n+1=

   ∴

   ∴{P_n+2-P_n+1}是公比為-的等比數列                       (10分)

(3) P_n+2-P_n+1=(P₂-P₁)?(-)^n-1=(-)ⁿ⁺¹

   P₂-P₁=(-)²,P₃-P₂=(-)³,……，P_n-P_n-1=(-)ⁿ

  相加：P_n-P₁=(-)²+(-)³+…+(-)ⁿ=[1-(-)^n-1]

  ∴P_n=                                         (14分)

(文)(1)an=       (4分)

b₁=a₁=2,b₂=,q=

b_n=b₁q^n-1=2?()^n-1                                  (7分)

(2)C_n=                       (8分)

  T_n=1+3?4¹+5?4²+……+(2n-1)?4^n-1

 4T_n=4+3?4²+5?4³+……+(2n-1)?4ⁿ

-3T_n=1+2?4¹+2?4²+……+2?4^n-1 -(2n-1)?4ⁿ

=-[(6n-5)4ⁿ+5]

∴T_n=[(6n-5)4ⁿ+5]

21.(14分)

(理)(1)f′(x)=4+2ax-2x²，由題意f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立  (2分)

∴∴A=[-1,1]                            (5分)

(2)方程f(x)=2x+x³可化為x(x²-ax-2)=0

  ∵x₁≠x₂≠0, ∴x₁,x₂是x²-ax-2=0兩根          (7分)

  △=a²+8>0,x₁+x₂=a,x₁x₂=2

  ∴|x₁-x₂|=

  ∵-1≤a≤1    ∴|x₁-x₂|最大值是       (10分)

  ∴m²+tm+1≥3在t∈[-1,1]上恒成立

  令g(t)=mt+t²-2

  ∴

m≥2或m≤-2                                 (14分)

故存在m值，其取值范圍為(-∞,-2]∪[2,+∞)

(文)(1)f′(x)=3x²+b

    由已知f′(x)在[-1,1]上恒成立       (3分)

 ∴b≥-3x²在[-1,1] 上恒成立

 ∵-3x²在[-1,1]上最大值為0            (6分)

 ∴b≥0                                 (7分)

(2)f(x)在[-1,1]上最大值為f(1)=1+b       (9分)

 ∴b²-tb+1≥1+b                          (10分)

   即b²-(t+1)b≥0恒成立，由b≥0得

 ∴b-(t+1)≥0,t+1≤b恒成立

 ∴t≤-1                                 (14分)

四、選考題：(10分)

A．(1)△ABE≌△ACD     (5分)

   (2)△ABC∽△BEC    

     ∴           (8分)

     ∴AE=            (10分)

B．P(2，)          P()        (3分)

          x-y+2=0      (7分)

   D=                 (10分)

C．設a=cos,b=sin,c=cos,d=sin          (4分)

  |ac+bd|=|coscos+sinsin|              (6分)

         =|cos(-)|≤1                      (10分)

方法二：只需證(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)         (6分)

        即證：2abcd≤a²d²+b²c²                 (8分)

        即證：(ad-bc)²≥0

       上式顯然成立

       ∴原不等式成立。                       (10分)