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（2013•順義區(qū)二模）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為CD的中點，F(xiàn)為AA₁的中點．
（I）求證：AD₁⊥平面A₁B₁E；
（II）求證：DF∥平面AB₁E；
（III）若二面角A-B₁E-A₁的大小為45°，求AB的長．

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，E是棱CD上的一點．
（1）求證：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）求證：B₁E⊥AD₁；
（3）若E是棱CD的中點，在棱AA₁上是否存在點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求出線段AP的長；若不存在，請說明理由．

（2012•福建）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，求AB的長．

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，點E在棱CD上，且CE=

1

3

CD．
（1）求證：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）在棱AA₁上是否存在點P，使DP∥平面B₁AE？若存在，求出線段AP的長；若不存在，請說明理由；
（3）若二面角A-B₁E-A₁的余弦值為

30

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，求棱AB的長．