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已知是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列

（Ⅰ）若 ，是否存在，有？請說明理由；

（Ⅱ）若（a、q為常數，且aq0）對任意m存在k，有，試求a、q滿足的充要條件；

（Ⅲ）若試確定所有的p,使數列中存在某個連續p項的和式數列中的一項，請證明.

【解析】第一問中，由得，整理后，可得、，為整數不存在、，使等式成立。

（2）中當時，則

即，其中是大于等于的整數

反之當時，其中是大于等于的整數，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數

（3）中設當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，

當為偶數時，式不成立。由式得，整理

當時，符合題意。當，為奇數時，

結合二項式定理得到結論。

解（1）由得，整理后，可得、，為整數不存在、，使等式成立。

（2）當時，則即，其中是大于等于的整數反之當時，其中是大于等于的整數，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數

（3）設當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，

當為偶數時，式不成立。由式得，整理

當時，符合題意。當，為奇數時，

   由，得

當為奇數時，此時，一定有和使上式一定成立。當為奇數時，命題都成立

 

已知冪函數滿足。

（1）求實數k的值，并寫出相應的函數的解析式；

（2）對于（1）中的函數，試判斷是否存在正數m，使函數，在區間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

【解析】本試題主要考查了函數的解析式的求解和函數的最值的運用。第一問中利用，冪函數滿足，得到

因為，所以k=0，或k=1，故解析式為

（2）由（1）知，，，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，結合二次函數的對稱軸，和開口求解最大值為5.，得到

（1）對于冪函數滿足，

因此，解得，………………3分

因為，所以k=0，或k=1，當k=0時，，

當k=1時，，綜上所述，k的值為0或1，。………………6分

（2）函數，………………7分

由此要求，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，

當時，，因為在區間上的最大值為5，

所以，或…………………………………………10分

解得滿足題意