題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）如圖，
，
分別是橢圓
（a＞b＞0）的左右焦點，M為橢圓上一點，
垂直于x軸，且OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行。
（1）求橢圓的離心率；
（2）若G為橢圓上不同于長軸端點任一點，求∠
取值范圍；
（3）過且與OM垂直的直線交橢圓于P、Q．
求橢圓的方程
（本小題滿分13分）
如圖，
、
是通過某城市開發區中心
的兩條南北和東西走向的街道，連接
、
兩地之間的鐵路線是圓心在
上的一段圓弧．若點
在點正北方向，且
，點
到、的距離分別為
和
．
（Ⅰ）建立適當坐標系，求鐵路線所在圓弧的方程；
（Ⅱ）若該城市的某中學擬在點正東方向選址建分校,考慮環境問題，要求校址到點的距離大于，并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于
，求該校址距點O的最近距離（注：校址視為一個點）．
（本小題滿分13分）如圖，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點.
(１)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值；
(2)在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A1BD？
若存在，確定其位置并證明結論；若不存在，說明理由.
（本小題滿分13分）
如圖，已知橢圓
的離心率為
，以該橢圓上的點和橢圓的
左、右焦點
為頂點的三角形的周長為
.一等軸雙曲線的頂點是該橢
圓的焦點，設
為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線
和
與橢圓的交點
分別 為
和
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）設直線、的斜率分別為
、
，證明
；
（Ⅲ）是否存在常數
，使得
恒成立？
若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
（本小題滿分13分）
如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α、β所成的角分別為和，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB＝12，求A′B′的長度．
一．1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.A 9.A 10.C
二．11.5
12.36
13.
14. 
15. 適合①
②
的不等式如:
, 
或其它曲線型只要適合即可
三．16.解: （１）
∴
即AB邊的長度為2.
…………… …………5分
（２）由已知及（１）有:
∴
……………8分
由正弦定理得: 
……………10分
∴
=
…………12分
17.解: ①依題意可設
………1分
則
對n=1,2,3,……都成立 ………3分
∴ 又
解得
∴
………6分
②∵
…………9分
∴
+ 
+
+…+
……12分
18.解：（Ⅰ）依題意，記“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事件B，
則
…………3分
∵“甲、乙兩人各投球一次，都沒有命中”的事件為
…………5分
（Ⅱ）∵甲、乙兩人在罰球線各投球二次時,
甲命中1次,乙命中0次的概率為
…………7分
甲命中2次,乙命中0次的概率為
…………9分
甲命中2次,乙命中1次”的概率為
…………11分
故甲、乙兩人在罰球線各投球兩次，甲投球命中的次數比乙投球命中的次數多的
概率為P=
…………12分
19.解法1:取BE的中點O,連OC.
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
以O為原點建立空間直角坐標系O－ｘｙｚ如圖，
則由已知條件有:
,
,
,
……4分
設平面ADE的法向量為ｎ=
，
則由ｎ?
及ｎ?
可取ｎ
……6分
又AB⊥平面BCE. ∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取為m＝
.
∵ｎ?m?=0,
∴ｎ⊥m∴平面ADE⊥平面ABE. ……8分
⑵點C到平面ADE的距離為
……12分
解法2:取BE的中點O,AE的中點F,連OC,OF,CD.則
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE， AB=2CD
∴CD ， CD∴
∥ FD ……3分
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.
從而平面ADE.⊥平面ABE. ……6分
②∵CD ,延長AD, BC交于T
則Ｃ為ＢT的中點．
點C到平面ADE的距離等于點B到平面ADE的距離的
.……8分
過B作BH⊥AE，垂足為H。∵平面ADE.⊥平面ABE。∴BH⊥平面BDE.
由已知有AB⊥BE.
BE=
，AB= 2, ∴BH=
，
從而點C到平面ADE的距離為
……………… ……………12分
或∥ FD, 點C到平面ADE的距離等于點O到平面ADE的距離為.
或取A B的中點M。易證
∥ DA。點C到平面ADE的距離等于點M到平面ADE的距離為.
20. 解:
(I)設O為原點，則
=2
，
=2
。
而=
，得=
，
于是O、P、Q三點共線。 ……………2分
因為
所以PF∥QF/，且 
，……………3分
得
，
∴
∴
……………5分
因此橢圓的離心率為
雙曲線的離心率為
……………7分
（II）設
、
，
點P在雙曲線
的上，有
。
則
.
所以
。 ①…………9分
又由點Q在橢圓
上，有
。
同理可得
②
……………10分
∵O、P、Q三點共線。∴
。
由①、②得
。
……………13分
21. 解:（I）
……………1分
由已知有：
∴
,∴
……………3分
從而
令=０得：ｘ1＝1，ｘ2＝
． ∵
∴ｘ2
當ｘ變化時，、f（ｘ）的變化情況如下表：
ｘ
＋
－
＋
增函數
減函數
增函數
從上表可知：在
,上是增函數;
在
，上是減函數 ……………6分
（II）∵m>0，∴m+1>1. 由（I）知：
①當0<m<1時,
. 則最小值為
得:
……8分
此時
.從而
∴最大值為
得
此時
適合. ……10分
②當m
1時, 在閉區間
上是增函數.
∴最小值為
⑴
最大值為
=0. ⑵………12分
由⑵得：
⑶
⑶代入⑴得:
.即
又m1, ∴
從而
∴此時的a,m不存在
綜上知:
,.
………14分
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