題目列表(包括答案和解析)
如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）證明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.
【解析】（Ⅰ）因為
又
是平面PAC內的兩條相較直線，所以BD
平面PAC，
而
平面PAC，所以
.
（Ⅱ）設AC和BD相交于點O，連接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，
所以
是直線PD和平面PAC所成的角，從而
.
由BD平面PAC，
平面PAC，知
.在
中，由，得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形，
，所以
均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為
于是梯形ABCD面積
在等腰三角形ＡＯＤ中，
所以
故四棱錐
的體積為
.
【點評】本題考查空間直線垂直關系的證明，考查空間角的應用，及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可，第二問由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由
算得體積
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