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在棱長為的正方體中，分別為的中點．

（1）求直線與平面所 成 角的大小；
（2）求二面角的大小．

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的．

（1） 函數＝lg(x²－2x－3)的定義域是集合M，函數＝的定義域是集合P，則P∪M等于    （ A ）

           （A）（－∞，－1）∪[1，＋∞）                （B）（－∞，－3）∪[1，＋∞）

（C）（－3，＋∞）                                    （D）（－1，＋∞）

（2） 在等比數列｛a_n｝中，a₁＝3，a₆＝24，則a₁₆等于   （ D ）

（A）864                 （B）1176                   （C）1440                   （D）1536

（3） 直線關于直線對稱的直線方程是   （ A ）

（A）                              （B）

（C）                                     （D）

（4） 若平面α⊥平面β，l，m，n為兩兩互不重合的三條直線，，α∩β＝l，且m⊥n，則   （ D ）

（A）且n∥l                                     （B）或n∥l     

（C）且                                     （D）或

（5） △ABC中，若，則△ABC一定是   （ C ）

（A）銳角三角形     （B）鈍角三角形        （C）直角三角形        （D）等腰三角形

（6） 函數＝在區間（－2，2）上    （ B ）

（A）單調遞增                                           （B）單調遞減

（C）先單調遞增后單調遞減                      （D）先單調遞減后單調遞增

（7） 如圖，已知A，B，C是表面積為48π的球面上的三點，

AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，O為球心，則二面角

O－AB－C的大小為    （ D ）                                        

（A）                  （B）

（C）arccos        （D）arccos

（8） 一圓形紙片的圓心為O，點Q是圓內異于O點的一定點，點A是圓周上一點，把紙片折疊使點A與點Q重合，然后抹平紙片，折痕CD與OA交于P點，當點A運動時點P的軌跡是   （ A ）

（A）橢圓                      （B）雙曲線               （C）拋物線               （D）圓

（9） 方程的解共有   （ C ）

（A）1個             （B）2個           （C）3個           （D）4個

（10）如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于4×2×3的長方體框架（由24個棱長為1個單位長度的正方體框架組合而成）．一建筑工人從

A點沿腳手架到點B，每步走1個單位長度，

且不連續向上攀登，則其行走的最近路線共

有   （ B ）

（A）150條                  （B）525條

（C）840條          （D）1260條

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．

（11）不等式的解集為     ▲     ．答案：

（12）函數的最小正周期T＝      ▲     ．答案：π

（13）過雙曲線的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于   ▲   ．答案：2

（14）已知O是△ABC內一點，，則△AOB與△AOC的面積的比值為    ▲    ．

       答案：

（15）在的二項展開式中，所有有理項之和為S，當x＝2時，S等于   ▲  ．答案：2048

（16）已知集合A={(x，y)│|x|＋|y|=2，x，y∈R}，B={(x，y)│|xy|=a，x，y∈R}，若A∩B中的元素所對應的點恰好是一個正八邊形的八個頂點，則正數a的值為     ▲     ．答案：

三、解答題：本大題共5小題，共70分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

（17）（本小題滿分14分）

袋中裝有20個不同的小球，其中有n（，n＞1）個紅球，4個藍球，10個黃球，其余為白球．已知從袋中取出3個顏色相同的彩球（不是白球）的概率為．

（Ⅰ）求袋中的紅球、白球各有多少個？

（Ⅱ）從袋中任取3個小球，求其中一定有紅球的概率．

解：（Ⅰ）設“從袋中任取3球全為紅球”、“從袋中任取3球全為藍球”、“從袋中任取3 球全為黃球”分別為事件A，B，C，由題意知，A，B，C兩兩互斥，則

，．  …………………………………………4分

故從袋中取出成3個都是相同顏色彩球（不是白球）的概率為

＝，

∴． …………………………………………………6分

由此得從袋中取3球不可能全為紅球，從而．又，n＞1，故．

答：袋中有2個紅球4個白球． …………………………………………………………8分

         （Ⅱ）設“從袋中任取3個小球，其中一定有紅球”為事件D，則

＝．

答：從袋中任取3個小球，一定有紅球的概率為．………………………………14分

（18）（本小題滿分14分）

如圖，在長方體中，，，

，M為AB的中點，E，F分別為和AD₁的中點．

（Ⅰ）求證：直線EF⊥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小．

解法一：（Ⅰ）延長AE交A₁B₁于點N，則點N為A₁B₁的中點．

連D₁N，∵E，F分別是A₁M，AD₁的中點，

∴EF∥D₁N．…………………………………………………………………………2分

在Rt△A₁C₁D₁與Rt△ND₁A₁中，∵，

∴Rt△A₁C₁D₁∽Rt△ND₁A₁，∴A₁C₁⊥D₁N．………………………………………4分

又AA₁⊥D₁N，A₁C₁∩AA₁＝A₁，∴D₁N⊥平面AA₁C₁C．…………………………6分

（Ⅱ）過點A₁作A₁H⊥AN，垂足為H，連D₁H．由三垂線定理，得 D₁H⊥AN，

∴AN ⊥平面A₁D₁H，∴平面A₁D₁ H⊥平面AEF．

∴A₁D₁在平面AEF中的射影即為D₁H，

∠A₁D₁H就是A₁D₁與平面AEF所成的角．………………………………………10分

在Rt△AA₁N中，AA₁＝2，A₁N＝，∴A₁H＝．

tan∠A₁D₁H＝＝，故直線A₁D₁與平面AEF所成的角為arctan．

∵AD∥A₁D₁，∴直線AD與平面AEF所成的角為arctan．…………………14分

解法二：（Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸建立空間坐標系．

則A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），A₁（0，0，2），

B₁（，0，2），C₁（，1，2），D（0，1，2）． 

∴＝（0，0，2），＝（，1，0）．

又M（，0，0），E（，0，1），F（0，，1），

∴＝（－，，0）． ………………………………………………………3分

由?＝（－，，0）?（0，0，2）＝0，

?＝（－，，0）?（，1，0）＝0，∴⊥，⊥．

又A₁C₁∩AA₁＝A₁，∴EF⊥平面AA₁C₁C．………………………………………6分

（Ⅱ）設向量n＝（1，x，y）是平面AEF的一個法向量．

由（Ⅰ），可得＝（－，0，1），＝（0，，1）． ………………8分

由?n＝0，?n＝0，得  解之，得

故n＝（1，，－）． ……………………………………………………11分

設直線AD與平面AEF所成的角為α，則sinα＝＝＝．

所以設直線AD與平面AEF所成的角為arcsin．…………………………14分

（19）（本小題滿分14分）

將圓按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直線l與⊙O相交于A、B兩點，若在⊙O上存在點C，使 =λa，求直線l的方程及對應的點C的坐標．

解：圓化為標準方程為，

按向量a＝（－1，2）平移得⊙O方程為 x²＋y²＝5．……………………………………2分

∵＝λa，且||＝||，∴⊥，∥a． ……………………5分

∴k_AB＝．設直線l的方程為y＝x＋m，聯立，得

將方程（1）代入（2），整理得5x²＋4mx＋4m²－20＝0．（※） …………………………8分

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

        x₁＋x₂＝－，y₁＋y₂＝，＝（－，）． ……………………………10分

因為點C在圓上，所以，解之，得．

此時，（※）式中的△＝16m²－20(4m²－20)＝300＞0．…………………………………12分

所求的直線l的方程為2x－4y＋5＝0，對應的C點的坐標為（－1，2）；或直線l的方程為2x－4y－5＝0，對應的C點的坐標為（1，－2）．……………………………………14分

解法二：同解法一，得⊙O的方程．……………………………………………………2分

由＝λa，有||＝|λa |，從而λ＝±1．……………………………………………5分

（1）當λ＝1時，＝a＝（－1，2），所以C（－1，2）．從而OC的中點為M（－，1）．

由，可得點M在AB上，又由，

得直線的l的方程為，即．………………………………9分

（2）當λ＝－1時，＝－a＝（1，－2），所以C（1，－2）．

OC的中點為N（，－1）．

同樣由點N在AB上，可得直線l方程為． ……………………………12分

所求的直線l的方程為2x－4y＋5＝0，對應的C點的坐標為（－1，2）；或直線l的方程為2x－4y－5＝0，對應的C點的坐標為（1，－2）．……………………………………14分

（20）（本小題滿分14分）

已知是定義在R上的函數，對于任意的實數a，b，都有，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的解析式（）．

解：（Ⅰ）令，則，從而．……………………2分

由，可得．………………5分

（Ⅱ）．

設，則．…………………………………………………9分

兩邊同乘以，可以得到，即．

故數列為公差為等差數列．  ……………………………………………12分

由，可得，

所以，即．   ……………………………………………14分

（21）（本小題滿分14分）

設函數＝x|x－a|＋b．

（Ⅰ）求證：為奇函數的充要條件是a²＋b²＝0；

（Ⅱ）設常數b＜2－3，且對任意x∈[0，1]，＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

解：（Ⅰ）充分性：若a²＋b²＝0時，即a＝b＝0，所以 f（x）＝x | x|．

∵f（－x）＝－x |－x|＝－x |x|＝－f（x），對一切x∈R恒成立，

∴f（x）是奇函數． ……………………………………………………………………2分

            必要性：若f（x）是奇函數，則對一切x∈R，f（－x）＝－f（x）恒成立，即

                    －x |－x－a|＋b＝－x |x－a|－b．

令x＝0，得b＝－b，所以b＝0．………………………………………………………4分

再令x＝a，得  2a | a |＝0，∴a＝0，即a²＋b²＝0．…………………………………6分

（Ⅱ）解法一：∵b＜2－3＜0，∴當x＝0時，a取任意實數不等式恒成立，

故考慮x∈（0，1］時，原不等式變為 | x－a |<－，即 x＋＜a＜x－．

∴只需對x∈（0，1］，滿足 ………………………………8分

對（1）式，由b<0時，在（0，1］上，f（x）＝x＋為增函數，

∴（x＋）_max＝f（1）＝1＋b．

∴a＞1＋b．                               （3） ……………………………10分

對（2）式，當－1≤b＜0時，在（0，1］上，x－＝x＋≥2．

當x＝時，x－＝2，∴（x－）_min＝2．

∴a＜2．                             （4）

由（3）、（4），要使a存在，必須有 即－1≤b＜－3＋2．

∴當－1≤b＜－3＋2時，1＋b ＜a＜2．……………………………………12分

當b＜－1時，在（0，1］上，f（x）＝x－為減函數，（證明略）

∴（x－）_min＝f（1）＝1－b．

∴當b＜－1時，1＋b ＜a＜1－b．

綜上所述，當－1≤b＜2－3時，a的取值范圍是（1＋b，2）；當b＜－1時，a的取值范圍是（1＋b，1－b）．………………………………………………………14分

            解法二：f（x）＝x|x－a|＋b＜0（x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，即x|x－a|＜－b．

由于b是負數，故x²－ax＜－b，且x²－ax＞b．

（1）x²－ax＜－b在x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，設g(x)= x²－ax＋b，

則 即

其中（1），（3）顯然成立，由（2），得a＞1+b．（※）………………………………8分

（2）x²－ax－b＞0在x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，設h(x)= x²－ax－b，

① 即a＜0．

結合（※），得b＜－1時，1＋b＜a＜0；－1≤b＜2－3時，a值不存在．  ……9分

② 即

結合（※），得b＜－1時，0＜a≤2；－1≤b＜2－3時，b＋1＜a＜2．…11分

③ 即

結合（※），得b＜－1時，2＜a＜1－b；－1≤b＜2－3時，a不存在．………12分

綜上，得－1≤b＜2－3時，b＋1＜a＜2；b＜－1時，b＋1＜a＜1－b．…14分