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在平面直角坐標(biāo)系xOy上，給定拋物線L：y=x²，實(shí)數(shù)p，q滿足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}.
（1）過點(diǎn)A（p₀，p₀）（p₀≠0）作L的切線教y軸于點(diǎn)B。證明：對(duì)線段AB上任一點(diǎn)Q（p，q）有φ（p，q）=；
（2）設(shè)M（a，b）是定點(diǎn)，其中a，b滿足a²-4b>0，a≠0。過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，切點(diǎn)分別為E（p₁，p₁²），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂與y軸分別交與F，F(xiàn)'。線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X。證明：M（a，b）∈X|P₁|＞|P₂|φ（a，b）=；
（3）設(shè)D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}，當(dāng)點(diǎn)（p，q）取遍D時(shí)，求φ（p，q）的最小值 （記為φ_min）和最大值（記為φ_max）。

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在平面直角坐標(biāo)系xoy上，給定拋物線L：y=x²．實(shí)數(shù)p，q滿足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）過點(diǎn)，A（p，p²）（p≠0），作L的切線交y軸于點(diǎn)B．證明：對(duì)線段AB上的任一點(diǎn)Q（p，q），有φ（p，q）=；
（2）設(shè)M（a，b）是定點(diǎn)，其中a，b滿足a²-4b＞0，a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，切點(diǎn)分別為E（p₁，），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂與y軸分別交于F，F(xiàn)′．線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X．證明：M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|?φ（a，b）=．
（3）設(shè)D={ （x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}．當(dāng)點(diǎn)（p，q）取遍D時(shí)，求φ（p，q）的最小值 （記為φ_min）和最大值（記為φ_max）

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的．

（1） 函數(shù)＝lg(x²－2x－3)的定義域是集合M，函數(shù)＝的定義域是集合P，則P∪M等于    （ A ）

           （A）（－∞，－1）∪[1，＋∞）                （B）（－∞，－3）∪[1，＋∞）

（C）（－3，＋∞）                                    （D）（－1，＋∞）

（2） 在等比數(shù)列｛a_n｝中，a₁＝3，a₆＝24，則a₁₆等于   （ D ）

（A）864                 （B）1176                   （C）1440                   （D）1536

（3） 直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是   （ A ）

（A）                              （B）

（C）                                     （D）

（4） 若平面α⊥平面β，l，m，n為兩兩互不重合的三條直線，，α∩β＝l，且m⊥n，則   （ D ）

（A）且n∥l                                     （B）或n∥l     

（C）且                                     （D）或

（5） △ABC中，若，則△ABC一定是   （ C ）

（A）銳角三角形     （B）鈍角三角形        （C）直角三角形        （D）等腰三角形

（6） 函數(shù)＝在區(qū)間（－2，2）上    （ B ）

（A）單調(diào)遞增                                           （B）單調(diào)遞減

（C）先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減                      （D）先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增

（7） 如圖，已知A，B，C是表面積為48π的球面上的三點(diǎn)，

AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，O為球心，則二面角

O－AB－C的大小為    （ D ）                                        

（A）                  （B）

（C）arccos        （D）arccos

（8） 一圓形紙片的圓心為O，點(diǎn)Q是圓內(nèi)異于O點(diǎn)的一定點(diǎn)，點(diǎn)A是圓周上一點(diǎn)，把紙片折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合，然后抹平紙片，折痕CD與OA交于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P的軌跡是   （ A ）

（A）橢圓                      （B）雙曲線               （C）拋物線               （D）圓

（9） 方程的解共有   （ C ）

（A）1個(gè)             （B）2個(gè)           （C）3個(gè)           （D）4個(gè)

（10）如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于4×2×3的長(zhǎng)方體框架（由24個(gè)棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方體框架組合而成）．一建筑工人從

A點(diǎn)沿腳手架到點(diǎn)B，每步走1個(gè)單位長(zhǎng)度，

且不連續(xù)向上攀登，則其行走的最近路線共

有   （ B ）

（A）150條                  （B）525條

（C）840條          （D）1260條

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．

（11）不等式的解集為     ▲     ．答案：

（12）函數(shù)的最小正周期T＝      ▲     ．答案：π

（13）過雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于   ▲   ．答案：2

（14）已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則△AOB與△AOC的面積的比值為    ▲    ．

       答案：

（15）在的二項(xiàng)展開式中，所有有理項(xiàng)之和為S，當(dāng)x＝2時(shí)，S等于   ▲  ．答案：2048

（16）已知集合A={(x，y)│|x|＋|y|=2，x，y∈R}，B={(x，y)│|xy|=a，x，y∈R}，若A∩B中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好是一個(gè)正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)，則正數(shù)a的值為     ▲     ．答案：

三、解答題：本大題共5小題，共70分．請(qǐng)?jiān)?u>答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．

（17）（本小題滿分14分）

袋中裝有20個(gè)不同的小球，其中有n（，n＞1）個(gè)紅球，4個(gè)藍(lán)球，10個(gè)黃球，其余為白球．已知從袋中取出3個(gè)顏色相同的彩球（不是白球）的概率為．

（Ⅰ）求袋中的紅球、白球各有多少個(gè)？

（Ⅱ）從袋中任取3個(gè)小球，求其中一定有紅球的概率．

解：（Ⅰ）設(shè)“從袋中任取3球全為紅球”、“從袋中任取3球全為藍(lán)球”、“從袋中任取3 球全為黃球”分別為事件A，B，C，由題意知，A，B，C兩兩互斥，則

，．  …………………………………………4分

故從袋中取出成3個(gè)都是相同顏色彩球（不是白球）的概率為

＝，

∴． …………………………………………………6分

由此得從袋中取3球不可能全為紅球，從而．又，n＞1，故．

答：袋中有2個(gè)紅球4個(gè)白球． …………………………………………………………8分

         （Ⅱ）設(shè)“從袋中任取3個(gè)小球，其中一定有紅球”為事件D，則

＝．

答：從袋中任取3個(gè)小球，一定有紅球的概率為．………………………………14分

（18）（本小題滿分14分）

如圖，在長(zhǎng)方體中，，，

，M為AB的中點(diǎn)，E，F分別為和AD₁的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：直線EF⊥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小．

解法一：（Ⅰ）延長(zhǎng)AE交A₁B₁于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為A₁B₁的中點(diǎn)．

連D₁N，∵E，F(xiàn)分別是A₁M，AD₁的中點(diǎn)，

∴EF∥D₁N．…………………………………………………………………………2分

在Rt△A₁C₁D₁與Rt△ND₁A₁中，∵，

∴Rt△A₁C₁D₁∽R(shí)t△ND₁A₁，∴A₁C₁⊥D₁N．………………………………………4分

又AA₁⊥D₁N，A₁C₁∩AA₁＝A₁，∴D₁N⊥平面AA₁C₁C．…………………………6分

（Ⅱ）過點(diǎn)A₁作A₁H⊥AN，垂足為H，連D₁H．由三垂線定理，得 D₁H⊥AN，

∴AN ⊥平面A₁D₁H，∴平面A₁D₁ H⊥平面AEF．

∴A₁D₁在平面AEF中的射影即為D₁H，

∠A₁D₁H就是A₁D₁與平面AEF所成的角．………………………………………10分

在Rt△AA₁N中，AA₁＝2，A₁N＝，∴A₁H＝．

tan∠A₁D₁H＝＝，故直線A₁D₁與平面AEF所成的角為arctan．

∵AD∥A₁D₁，∴直線AD與平面AEF所成的角為arctan．…………………14分

解法二：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸建立空間坐標(biāo)系．

則A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），A₁（0，0，2），

B₁（，0，2），C₁（，1，2），D（0，1，2）． 

∴＝（0，0，2），＝（，1，0）．

又M（，0，0），E（，0，1），F(xiàn)（0，，1），

∴＝（－，，0）． ………………………………………………………3分

由?＝（－，，0）?（0，0，2）＝0，

?＝（－，，0）?（，1，0）＝0，∴⊥，⊥．

又A₁C₁∩AA₁＝A₁，∴EF⊥平面AA₁C₁C．………………………………………6分

（Ⅱ）設(shè)向量n＝（1，x，y）是平面AEF的一個(gè)法向量．

由（Ⅰ），可得＝（－，0，1），＝（0，，1）． ………………8分

由?n＝0，?n＝0，得  解之，得

故n＝（1，，－）． ……………………………………………………11分

設(shè)直線AD與平面AEF所成的角為α，則sinα＝＝＝．

所以設(shè)直線AD與平面AEF所成的角為arcsin．…………………………14分

（19）（本小題滿分14分）

將圓按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，若在⊙O上存在點(diǎn)C，使 =λa，求直線l的方程及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，

按向量a＝（－1，2）平移得⊙O方程為 x²＋y²＝5．……………………………………2分

∵＝λa，且||＝||，∴⊥，∥a． ……………………5分

∴k_AB＝．設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，聯(lián)立，得

將方程（1）代入（2），整理得5x²＋4mx＋4m²－20＝0．（※） …………………………8分

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

        x₁＋x₂＝－，y₁＋y₂＝，＝（－，）． ……………………………10分

因?yàn)辄c(diǎn)C在圓上，所以，解之，得．

此時(shí)，（※）式中的△＝16m²－20(4m²－20)＝300＞0．…………………………………12分

所求的直線l的方程為2x－4y＋5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2）；或直線l的方程為2x－4y－5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－2）．……………………………………14分

解法二：同解法一，得⊙O的方程．……………………………………………………2分

由＝λa，有||＝|λa |，從而λ＝±1．……………………………………………5分

（1）當(dāng)λ＝1時(shí)，＝a＝（－1，2），所以C（－1，2）．從而OC的中點(diǎn)為M（－，1）．

由，可得點(diǎn)M在AB上，又由，

得直線的l的方程為，即．………………………………9分

（2）當(dāng)λ＝－1時(shí)，＝－a＝（1，－2），所以C（1，－2）．

OC的中點(diǎn)為N（，－1）．

同樣由點(diǎn)N在AB上，可得直線l方程為． ……………………………12分

所求的直線l的方程為2x－4y＋5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2）；或直線l的方程為2x－4y－5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－2）．……………………………………14分

（20）（本小題滿分14分）

已知是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，都有，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的解析式（）．

解：（Ⅰ）令，則，從而．……………………2分

由，可得．………………5分

（Ⅱ）．

設(shè)，則．…………………………………………………9分

兩邊同乘以，可以得到，即．

故數(shù)列為公差為等差數(shù)列．  ……………………………………………12分

由，可得，

所以，即．   ……………………………………………14分

（21）（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)＝x|x－a|＋b．

（Ⅰ）求證：為奇函數(shù)的充要條件是a²＋b²＝0；

（Ⅱ）設(shè)常數(shù)b＜2－3，且對(duì)任意x∈[0，1]，＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：（Ⅰ）充分性：若a²＋b²＝0時(shí)，即a＝b＝0，所以 f（x）＝x | x|．

∵f（－x）＝－x |－x|＝－x |x|＝－f（x），對(duì)一切x∈R恒成立，

∴f（x）是奇函數(shù)． ……………………………………………………………………2分

            必要性：若f（x）是奇函數(shù)，則對(duì)一切x∈R，f（－x）＝－f（x）恒成立，即

                    －x |－x－a|＋b＝－x |x－a|－b．

令x＝0，得b＝－b，所以b＝0．………………………………………………………4分

再令x＝a，得  2a | a |＝0，∴a＝0，即a²＋b²＝0．…………………………………6分

（Ⅱ）解法一：∵b＜2－3＜0，∴當(dāng)x＝0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，

故考慮x∈（0，1］時(shí)，原不等式變?yōu)?| x－a |<－，即 x＋＜a＜x－．

∴只需對(duì)x∈（0，1］，滿足 ………………………………8分

對(duì)（1）式，由b<0時(shí)，在（0，1］上，f（x）＝x＋為增函數(shù)，

∴（x＋）_max＝f（1）＝1＋b．

∴a＞1＋b．                               （3） ……………………………10分

對(duì)（2）式，當(dāng)－1≤b＜0時(shí)，在（0，1］上，x－＝x＋≥2．

當(dāng)x＝時(shí)，x－＝2，∴（x－）_min＝2．

∴a＜2．                             （4）

由（3）、（4），要使a存在，必須有 即－1≤b＜－3＋2．

∴當(dāng)－1≤b＜－3＋2時(shí)，1＋b ＜a＜2．……………………………………12分

當(dāng)b＜－1時(shí)，在（0，1］上，f（x）＝x－為減函數(shù)，（證明略）

∴（x－）_min＝f（1）＝1－b．

∴當(dāng)b＜－1時(shí)，1＋b ＜a＜1－b．

綜上所述，當(dāng)－1≤b＜2－3時(shí)，a的取值范圍是（1＋b，2）；當(dāng)b＜－1時(shí)，a的取值范圍是（1＋b，1－b）．………………………………………………………14分

            解法二：f（x）＝x|x－a|＋b＜0（x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，即x|x－a|＜－b．

由于b是負(fù)數(shù)，故x²－ax＜－b，且x²－ax＞b．

（1）x²－ax＜－b在x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，設(shè)g(x)= x²－ax＋b，

則 即

其中（1），（3）顯然成立，由（2），得a＞1+b．（※）………………………………8分

（2）x²－ax－b＞0在x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，設(shè)h(x)= x²－ax－b，

① 即a＜0．

結(jié)合（※），得b＜－1時(shí)，1＋b＜a＜0；－1≤b＜2－3時(shí)，a值不存在．  ……9分

② 即

結(jié)合（※），得b＜－1時(shí)，0＜a≤2；－1≤b＜2－3時(shí)，b＋1＜a＜2．…11分

③ 即

結(jié)合（※），得b＜－1時(shí)，2＜a＜1－b；－1≤b＜2－3時(shí)，a不存在．………12分

綜上，得－1≤b＜2－3時(shí)，b＋1＜a＜2；b＜－1時(shí)，b＋1＜a＜1－b．…14分