題目列表(包括答案和解析)
如圖，在長(zhǎng)方體
中，
，
，
．寫出
，
，
，
四點(diǎn)的坐標(biāo)．
如圖，在長(zhǎng)方體
中，
，
，
、
分別為
、
的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：
平面
．
如圖，在長(zhǎng)方體
中，
，
，
為
的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：
平面
；
(II)求二面角
的余弦值.
如圖，在長(zhǎng)方體
中，
，
，
是線段
的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求直線
與平面所成角的正弦值．
如圖，在長(zhǎng)方體
中，
，
，
，
是線段
的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求平面把長(zhǎng)方體
分成的兩部分的體積比．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的．
（1） 函數(shù)
＝lg(x2－2x－3)的定義域是集合M，函數(shù)
＝
的定義域是集合P，則P∪M等于 （ A ）
（A）（－∞，－1）∪[1，＋∞） （B）（－∞，－3）∪[1，＋∞）
（C）（－3，＋∞） （D）（－1，＋∞）
（2） 在等比數(shù)列｛an｝中，a1＝3，a6＝24，則a16等于 （ D ）
（A）864 （B）1176 （C）1440 （D）1536
（3） 直線
關(guān)于直線
對(duì)稱的直線方程是 （ A ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4） 若平面α⊥平面β，l，m，n為兩兩互不重合的三條直線，
，α∩β＝l，且m⊥n，則 （ D ）
（A）
且n∥l （B）或n∥l
（C）且
（D）或
（5）
△ABC中，若
，則△ABC一定是 （ C ）
（A）銳角三角形 （B）鈍角三角形 （C）直角三角形 （D）等腰三角形
（6） 函數(shù)＝
在區(qū)間（－2，2）上 （ B ）
（A）單調(diào)遞增 （B）單調(diào)遞減
（C）先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減 （D）先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增
（7）
如圖，已知A，B，C是表面積為48π的球面上的三點(diǎn)，
AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，O為球心，則二面角
O－AB－C的大小為 （ D ）
（A）
（B）
（C）arccos
（D）arccos
（8） 一圓形紙片的圓心為O，點(diǎn)Q是圓內(nèi)異于O點(diǎn)的一定點(diǎn)，點(diǎn)A是圓周上一點(diǎn)，把紙片折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合，然后抹平紙片，折痕CD與OA交于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P的軌跡是 （ A ）
（A）橢圓 （B）雙曲線 （C）拋物線 （D）圓
（9） 方程
的解共有 （ C ）
（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)
（10）如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于4×2×3的長(zhǎng)方體框架（由24個(gè)棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方體框架組合而成）．一建筑工人從
A點(diǎn)沿腳手架到點(diǎn)B，每步走1個(gè)單位長(zhǎng)度，
且不連續(xù)向上攀登，則其行走的最近路線共
有 （ B ）
（A）150條 （B）525條
（C）840條 （D）1260條
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
（11）不等式
的解集為 ▲ ．答案：
（12）函數(shù)
的最小正周期T＝ ▲ ．答案：π
（13）過雙曲線
的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于 ▲ ．答案：2
（14）已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，
，則△AOB與△AOC的面積的比值為 ▲ ．
答案：
（15）在
的二項(xiàng)展開式中，所有有理項(xiàng)之和為S，當(dāng)x＝2時(shí)，S等于 ▲ ．答案：2048
（16）已知集合A={(x，y)│|x|＋|y|=2，x，y∈R}，B={(x，y)│|xy|=a，x，y∈R}，若A∩B中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好是一個(gè)正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)，則正數(shù)a的值為 ▲ ．答案：
三、解答題：本大題共5小題，共70分．請(qǐng)?jiān)?u>答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（17）（本小題滿分14分）
袋中裝有20個(gè)不同的小球，其中有n（
，n＞1）個(gè)紅球，4個(gè)藍(lán)球，10個(gè)黃球，其余為白球．已知從袋中取出3個(gè)顏色相同的彩球（不是白球）的概率為
．
（Ⅰ）求袋中的紅球、白球各有多少個(gè)？
（Ⅱ）從袋中任取3個(gè)小球，求其中一定有紅球的概率．
解：（Ⅰ）設(shè)“從袋中任取3球全為紅球”、“從袋中任取3球全為藍(lán)球”、“從袋中任取3 球全為黃球”分別為事件A，B，C，由題意知，A，B，C兩兩互斥，則
，
． …………………………………………4分
故從袋中取出成3個(gè)都是相同顏色彩球（不是白球）的概率為
＝，
∴
． …………………………………………………6分
由此得從袋中取3球不可能全為紅球，從而
．又，n＞1，故
．
答：袋中有2個(gè)紅球4個(gè)白球． …………………………………………………………8分
（Ⅱ）設(shè)“從袋中任取3個(gè)小球，其中一定有紅球”為事件D，則
＝
．
答：從袋中任取3個(gè)小球，一定有紅球的概率為
．………………………………14分
（18）（本小題滿分14分）
如圖，在長(zhǎng)方體
中，
，
，
，M為AB的中點(diǎn)，E，F分別為
和AD1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線EF⊥平面
；
（Ⅱ）求直線
與平面
所成角的大小．
解法一：（Ⅰ）延長(zhǎng)AE交A1B1于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為A1B1的中點(diǎn)．
連D1N，∵E，F(xiàn)分別是A
∴EF∥D1N．…………………………………………………………………………2分
在Rt△A
，
∴Rt△A
又AA1⊥D1N，A
（Ⅱ）過點(diǎn)A1作A1H⊥AN，垂足為H，連D1H．由三垂線定理，得 D1H⊥AN，
∴AN ⊥平面A1D1H，∴平面A1D1 H⊥平面AEF．
∴A1D1在平面AEF中的射影即為D1H，
∠A1D1H就是A1D1與平面AEF所成的角．………………………………………10分
在Rt△AA1N中，AA1＝2，A1N＝
，∴A1H＝
．
tan∠A1D1H＝
＝
，故直線A1D1與平面AEF所成的角為arctan．
∵AD∥A1D1，∴直線AD與平面AEF所成的角為arctan．…………………14分
解法二：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸建立空間坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），B（
，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，2），
B1（，0，2），C1（，1，2），D（0，1，2）．
∴
＝（0，0，2），
＝（，1，0）．
又M（，0，0），E（
，0，1），F(xiàn)（0，
，1），
∴
＝（－
，，0）． ………………………………………………………3分
由?＝（－，，0）?（0，0，2）＝0，
?＝（－，，0）?（，1，0）＝0，∴⊥，⊥．
又A
（Ⅱ）設(shè)向量n＝（1，x，y）是平面AEF的一個(gè)法向量．
由（Ⅰ），可得
＝（－，0，1），
＝（0，
，1）． ………………8分
由?n＝0，?n＝0，得
解之，得
故n＝（1，，－）． ……………………………………………………11分
設(shè)直線AD與平面AEF所成的角為α，則sinα＝
＝
＝
．
所以設(shè)直線AD與平面AEF所成的角為arcsin．…………………………14分
（19）（本小題滿分14分）
將圓
按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，若在⊙O上存在點(diǎn)C，使 
=λa，求直線l的方程及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為
，
按向量a＝（－1，2）平移得⊙O方程為 x2＋y2＝5．……………………………………2分
∵＝λa，且|
|＝|
|，∴
⊥
，∥a． ……………………5分
∴kAB＝．設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，聯(lián)立，得
將方程（1）代入（2），整理得5x2＋4mx＋
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
x1＋x2＝－
，y1＋y2＝
，＝（－，）． ……………………………10分
因?yàn)辄c(diǎn)C在圓上，所以
，解之，得
．
此時(shí)，（※）式中的△＝
所求的直線l的方程為2x－4y＋5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2）；或直線l的方程為2x－4y－5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－2）．……………………………………14分
解法二：同解法一，得⊙O的方程
．……………………………………………………2分
由＝λa，有||＝|λa |，從而λ＝±1．……………………………………………5分
（1）當(dāng)λ＝1時(shí)，＝a＝（－1，2），所以C（－1，2）．從而OC的中點(diǎn)為M（－，1）．
由，可得點(diǎn)M在AB上，又由
，
得直線的l的方程為
，即
．………………………………9分
（2）當(dāng)λ＝－1時(shí)，＝－a＝（1，－2），所以C（1，－2）．
OC的中點(diǎn)為N（，－1）．
同樣由點(diǎn)N在AB上，可得直線l方程為
． ……………………………12分
所求的直線l的方程為2x－4y＋5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2）；或直線l的方程為2x－4y－5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－2）．……………………………………14分
（20）（本小題滿分14分）
已知是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，都有
，且
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的解析式（
）．
解：（Ⅰ）令
，則
，從而
．……………………2分
由
，可得
．………………5分
（Ⅱ）
．
設(shè)
，則
．…………………………………………………9分
兩邊同乘以
，可以得到
，即
．
故數(shù)列
為公差為
等差數(shù)列． ……………………………………………12分
由
，可得
，
所以
，即
． ……………………………………………14分
（21）（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)＝x|x－a|＋b．
（Ⅰ）求證：為奇函數(shù)的充要條件是a2＋b2＝0；
（Ⅱ）設(shè)常數(shù)b＜2－3，且對(duì)任意x∈[0，1]，＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：（Ⅰ）充分性：若a2＋b2＝0時(shí)，即a＝b＝0，所以 f（x）＝x | x|．
∵f（－x）＝－x |－x|＝－x |x|＝－f（x），對(duì)一切x∈R恒成立，
∴f（x）是奇函數(shù)． ……………………………………………………………………2分
必要性：若f（x）是奇函數(shù)，則對(duì)一切x∈R，f（－x）＝－f（x）恒成立，即
－x |－x－a|＋b＝－x |x－a|－b．
令x＝0，得b＝－b，所以b＝0．………………………………………………………4分
再令x＝a，得
（Ⅱ）解法一：∵b＜2－3＜0，∴當(dāng)x＝0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，
故考慮x∈（0，1］時(shí)，原不等式變?yōu)?| x－a |<－
，即 x＋＜a＜x－．
∴只需對(duì)x∈（0，1］，滿足
………………………………8分
對(duì)（1）式，由b<0時(shí)，在（0，1］上，f（x）＝x＋為增函數(shù)，
∴（x＋）max＝f（1）＝1＋b．
∴a＞1＋b． （3） ……………………………10分
對(duì)（2）式，當(dāng)－1≤b＜0時(shí)，在（0，1］上，x－＝x＋
≥2
．
當(dāng)x＝時(shí)，x－＝2
，∴（x－）min＝2．
∴a＜2．
（4）
由（3）、（4），要使a存在，必須有
即－1≤b＜－3＋2．
∴當(dāng)－1≤b＜－3＋2時(shí)，1＋b ＜a＜2．……………………………………12分
當(dāng)b＜－1時(shí)，在（0，1］上，f（x）＝x－為減函數(shù)，（證明略）
∴（x－）min＝f（1）＝1－b．
∴當(dāng)b＜－1時(shí)，1＋b ＜a＜1－b．
綜上所述，當(dāng)－1≤b＜2－3時(shí)，a的取值范圍是（1＋b，2）；當(dāng)b＜－1時(shí)，a的取值范圍是（1＋b，1－b）．………………………………………………………14分
解法二：f（x）＝x|x－a|＋b＜0（x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，即x|x－a|＜－b．
由于b是負(fù)數(shù)，故x2－ax＜－b，且x2－ax＞b．
（1）x2－ax＜－b在x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，設(shè)g(x)= x2－ax＋b，
則
即
其中（1），（3）顯然成立，由（2），得a＞1+b．（※）………………………………8分
（2）x2－ax－b＞0在x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，設(shè)h(x)= x2－ax－b，
①
即a＜0．
結(jié)合（※），得b＜－1時(shí)，1＋b＜a＜0；－1≤b＜2－3時(shí)，a值不存在． ……9分
②
即
結(jié)合（※），得b＜－1時(shí)，0＜a≤2；－1≤b＜2－3時(shí)，b＋1＜a＜2．…11分
③
即
結(jié)合（※），得b＜－1時(shí)，2＜a＜1－b；－1≤b＜2－3時(shí)，a不存在．………12分
綜上，得－1≤b＜2－3時(shí)，b＋1＜a＜2；b＜－1時(shí)，b＋1＜a＜1－b．…14分
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