題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
。
（1）證明：
（2）若數(shù)列
的通項(xiàng)公式為
，求數(shù)列 的前
項(xiàng)和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設(shè)數(shù)列
滿足：
，設(shè)
，
若（2）中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點(diǎn)
在
軸上，點(diǎn)
在
軸的正半軸，點(diǎn)
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點(diǎn)，又過、作軌跡的切線
、
，當(dāng)
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)
時(shí)，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區(qū)間
上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數(shù)，
（1）討論
時(shí), 
的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實(shí)數(shù)
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，對(duì)任意的正整數(shù)，都有
成立，記
。
（I）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（II）記
，設(shè)數(shù)列
的前項(xiàng)和為
，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有
；
（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為
。已知正實(shí)數(shù)
滿足：對(duì)任意正整數(shù)
恒成立，求的最小值。
考 生 填 寫 座 位
號(hào) 碼 的 末 兩 位
題 號(hào)
一
二
三
四
17
18
19
20
21
22
23
得 分
一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的；每小題選出答案后，請(qǐng)用2B鉛筆把機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).)
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
A
B
A
C
D
D
C
D
得分
評(píng)卷人
二．填空題(請(qǐng)把答案填在對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上)
13.
. 14．
.
15．
. 16. 
（或
） .
三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請(qǐng)將答題的過程寫在答題卷中指定的位置.）
17.( 本題滿分12分)
解：（Ⅰ）由遞推關(guān)系
（2分）得，
（3分）；
；
（6分），
（Ⅱ）由
，即
（7分），所以
；.........12分（不單列
扣1分）
18．（本題滿分12分）
證明：（Ⅰ） 在三棱柱
中，
∵側(cè)棱垂直底面
，
∴ 四邊形
，
，
都是矩形，
又 ∵ 
，
，
，
∴ 
，又 ∵ 
為
中點(diǎn)，
在
中，
，同理，
．
∴ 
，∴ 
，.....4分
在
中，
，
在
中，
，
∴ 
，∴ 
．....6分
又 
，
∴ 
．..........8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴ 直線
與平面
所成的角為
．..........9分
在
中，
∴ 
，...............11分
即 直線
與平面
所成的角的余弦值為
．.......12分
解法二：（Ⅰ）以
為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)
，
，
，
（3分），則 
，
，
，
∴ 
，
∴
，∴
（5分），
∴ 
，
∴ 
，∴（7分）
又 
，∴ ．....8分
（Ⅱ）設(shè)向量
與
的夾角為
，
∵
，
∴
....10分
設(shè)直線與平面所成的角為
∵
平面
∴
∴直線與平面所成角的余弦值為.…………………………12分
19．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）每個(gè)提升站需要緊急維修的概率為
（2分），不需要緊急維修的概率為
（3分），設(shè)需要維修的提升站數(shù)為
，則
．
， （4分）
， （5分）
， （6分）
．（7分）
（Ⅱ）∵
，∴ 
的取值是
，則（元）的分布列是：
..................（9分）
∵
，∴
，又 ，
∴ 
．
（或
）
答：緊急維修費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望是750元．..........12分
20.（本題滿分14分）
解： (Ⅰ)設(shè)“封閉函數(shù) ” 
的“封閉區(qū)間”為
，其中
．
在
上為減函數(shù)，故有：
，
解得：
，
，
∴ 
的“封閉區(qū)間”為
．.........4分
(Ⅱ)
，令
，得：
....6分
∴ 
在(
，0)上是增函數(shù)，在(2 ，+)上也是增函數(shù)；在(0 ，2)上是減函數(shù)．
顯然在上不是單調(diào)函數(shù)，故不是
上的“封閉函數(shù) ”．...8分
(Ⅲ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)
，使函數(shù)
是上的“封閉函數(shù) ”且“封閉區(qū)間”是，則
(1) 函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)．
，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則
對(duì)
恒成立，則：
；解得：
．...10分
(2) 由，知
，故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以， 函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù)，故有：
，∵，∴
，從而方程
至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
又方程有一根為，故：方程
至少有一個(gè)不為的根．
∴
，解得：
且
0..........13分
由(1)，(2)知：3．..........14分
21.（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵離心率
，且短半軸長(zhǎng)，
∴ 
，∴
，
∴ 橢圓
的方程為
．.............5分
（Ⅱ）設(shè)
，則
，
，則
（6分），則直線
的方程為
，聯(lián)立
，得
（8分），
（或?qū)懗桑?sub>
（8分），
（或
，即 
（8分）
∵ 
，∴ 
）
解之：
，
（10分），
∴ 
（11分），
（或
，
（11分），）
又 ∵、
、
三點(diǎn)共線，∴ 
（12分），而 
，
∴ 
，..............13分
（或
（13分），解之：
......14分）
∵ 
，∴ 
，解之： .........14分．
四．選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時(shí)，請(qǐng)注明題號(hào)；若多做，則按首做題計(jì)入總分,滿分10分； 請(qǐng)將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
你選做_______題(請(qǐng)?jiān)跈M線上注明題號(hào))
解（或證明）：
22.證明：∵
是
的切線，直線
是的割線
∴ 
，（2分）
又 ∵ 
，∴ 
，∴
（5分），
∵ 
，
∴ △
與△
兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等（7分），
∴ △∽△（8分）
∴ 
（10分）．
23.解:（Ⅰ）直線
的參數(shù)方程是
，即 
..5分
（Ⅱ）設(shè)
，則
，
∵
，
（7分），
∴ 
，即圓的極坐標(biāo)方程為
．.........10分
24.解：由
得 
，∴不等式的解集為
（4分）
∵
∴當(dāng)
≤1時(shí)，為空集，顯然成立，......6分
當(dāng)＞1時(shí)，=
......8分
由
得 
或
或
，即，
這與＞1矛盾，
綜合上述得：≤1．.......10分
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