題目列表(包括答案和解析)
已知定義域為
的函數
，若對于任意
，存在正數
，都有
成立，那么稱函數是上的“倍約束函數”，已知下列函數：①
；
②
； ③
； ④
，
其中是“倍約束函數”的是_____________．（將你認為正確的函數序號都填上）
已知定義域為
的函數
，若對于任意
，存在正數
，都有
成立，那么稱函數是上的“倍約束函數”，已知下列函數：①
；
②
； ③
； ④
，
其中是“倍約束函數”的是_____________．（將你認為正確的函數序號都填上）
（本小題滿分15分）
已知函數
的圖象在
上連續不斷，定義： 
，
其中，
表示函數在
上的最小值，
表示函數在上的最大值．若存在最小正整數
，使得
對任意的
成立，則稱函數為上的“階收縮函數”．
（1）若
，
，試寫出
的表達式；
（2）已知函數
，
，試判斷是否為
上的“階收縮函數”，如果是，求出對應的；如果不是，請說明理由；
（3）已知
，函數
是
上的2階收縮函數，求
的取值范圍.
已知函數
的圖象在
上連續，定義：
，
.其中，
表示函數在
上的最小值，
表示函數在上的最大值.若存在最小正整數
，使得
對任意的
成立，則稱函數為上的“階收縮函數”.
（Ⅰ）若
，試寫出
，
的表達式；
（Ⅱ）已知函數
，試判斷是否為
上的“階收縮函數”.如果是，求出對應的；如果不是，請說明理由；
（Ⅲ）已知
，函數
是
上的2階收縮函數，求
的取值范圍.
（本小題14分）
已知函數
的圖像在[a,b]上連續不斷，定義：
，
，其中
表示函數
在D上的最小值，
表示函數在D上的最大值，若存在最小正整數k，使得
對任意的
成立，則稱函數為
上的“k階收縮函數”
（1）若
，試寫出
，
的表達式；
（2）已知函數
試判斷是否為[-1,4]上的“k階收縮函數”，
如果是，求出對應的k，如果不是，請說明理由；
已知
，函數
是[0,b]上的2階收縮函數，求b的取值范圍
考 生 填 寫 座 位
號 碼 的 末 兩 位
題 號
一
二
三
四
17
18
19
20
21
22
23
得 分
一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；每小題選出答案后，請用2B鉛筆把機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
A
B
A
C
D
D
C
D
得分
評卷人
二．填空題(請把答案填在對應題號的橫線上)
13.
. 14．
.
15．
. 16. 
（或
） .
三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置.）
17.( 本題滿分12分)
解：（Ⅰ）由遞推關系
（2分）得，
（3分）；
；
（6分），
（Ⅱ）由
，即
（7分），所以
；.........12分（不單列
扣1分）
18．（本題滿分12分）
證明：（Ⅰ） 在三棱柱
中，
∵側棱垂直底面
，
∴ 四邊形
，
，
都是矩形，
又 ∵ 
，
，
，
∴ 
，又 ∵ 
為
中點，
在
中，
，同理，
．
∴ 
，∴ 
，.....4分
在
中，
，
在
中，
，
∴ 
，∴ 
．....6分
又 
，
∴ 
．..........8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴ 直線
與平面
所成的角為
．..........9分
在
中，
∴ 
，...............11分
即 直線
與平面
所成的角的余弦值為
．.......12分
解法二：（Ⅰ）以
為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設
，
，
，
（3分），則 
，
，
，
∴ 
，
∴
，∴
（5分），
∴ 
，
∴ 
，∴（7分）
又 
，∴ ．....8分
（Ⅱ）設向量
與
的夾角為
，
∵
，
∴
....10分
設直線與平面所成的角為
∵
平面
∴
∴直線與平面所成角的余弦值為.…………………………12分
19．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）每個提升站需要緊急維修的概率為
（2分），不需要緊急維修的概率為
（3分），設需要維修的提升站數為
，則
．
， （4分）
， （5分）
， （6分）
．（7分）
（Ⅱ）∵
，∴ 
的取值是
，則（元）的分布列是：
..................（9分）
∵
，∴
，又 ，
∴ 
．
（或
）
答：緊急維修費用的數學期望是750元．..........12分
20.（本題滿分14分）
解： (Ⅰ)設“封閉函數 ” 
的“封閉區間”為
，其中
．
在
上為減函數，故有：
，
解得：
，
，
∴ 
的“封閉區間”為
．.........4分
(Ⅱ)
，令
，得：
....6分
∴ 
在(
，0)上是增函數，在(2 ，+)上也是增函數；在(0 ，2)上是減函數．
顯然在上不是單調函數，故不是
上的“封閉函數 ”．...8分
(Ⅲ)假設存在實數
，使函數
是上的“封閉函數 ”且“封閉區間”是，則
(1) 函數在上是單調函數．
，若函數在上是增函數，則
對
恒成立，則：
；解得：
．...10分
(2) 由，知
，故函數在上是增函數，所以， 函數在區間 上是增函數，故有：
，∵，∴
，從而方程
至少有兩個不相等的實數根．
又方程有一根為，故：方程
至少有一個不為的根．
∴
，解得：
且
0..........13分
由(1)，(2)知：3．..........14分
21.（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵離心率
，且短半軸長，
∴ 
，∴
，
∴ 橢圓
的方程為
．.............5分
（Ⅱ）設
，則
，
，則
（6分），則直線
的方程為
，聯立
，得
（8分），
（或寫成：
（8分），
（或
，即 
（8分）
∵ 
，∴ 
）
解之：
，
（10分），
∴ 
（11分），
（或
，
（11分），）
又 ∵、
、
三點共線，∴ 
（12分），而 
，
∴ 
，..............13分
（或
（13分），解之：
......14分）
∵ 
，∴ 
，解之： .........14分．
四．選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時，請注明題號；若多做，則按首做題計入總分,滿分10分； 請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
你選做_______題(請在橫線上注明題號)
解（或證明）：
22.證明：∵
是
的切線，直線
是的割線
∴ 
，（2分）
又 ∵ 
，∴ 
，∴
（5分），
∵ 
，
∴ △
與△
兩邊對應成比例，且夾角相等（7分），
∴ △∽△（8分）
∴ 
（10分）．
23.解:（Ⅰ）直線
的參數方程是
，即 
..5分
（Ⅱ）設
，則
，
∵
，
（7分），
∴ 
，即圓的極坐標方程為
．.........10分
24.解：由
得 
，∴不等式的解集為
（4分）
∵
∴當
≤1時，為空集，顯然成立，......6分
當＞1時，=
......8分
由
得 
或
或
，即，
這與＞1矛盾，
綜合上述得：≤1．.......10分
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